Теорема Гаусса в интегральной форме.

Вопрос 11.

Согласно представлениям классической механики, масса тела есть величина постоянная. Однако в конце XIX в. на опытах с электронами было установлено, что масса тела зависит от скорости его движения, а именно возрастает с увеличением v по закону

(5.8)

где m₀ - масса покоя, т.е. масса материальной точки, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой точка покоится; m – масса точки в системе отсчета, относительно которой она движется со скоростью v.
Из принципа относительности Эйнштейна, утверждающего инвариантность всех законов природы при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой, следует, что основной закон динамики Ньютона

оказывается инвариантным по отношению к преобразованиям Лоренца, если в нем справа стоит производная от релятивистского импульса:

(5.9)

или
(5.10)

где
(5.11)

Из приведенных формул следует, что при скоростях, значительно меньших скорости света в вакууме, они переходят в формулы классической механики. Следовательно, условием применимости законов классической механики является условиеv << c. Законы Ньютона получаются как следствие СТО для предельного случая v << c. Таким образом, классическая механика – это механика макротел, движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света в вакууме) скоростями.
Вследствие однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: релятивистский импульс замкнутой системы тел сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Изменение скорости тела в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии, т.е. между массой и энергией существует взаимосвязь. Эту универсальную зависимость – закон взаимосвязи массы и энергии – установил А. Эйнштейн:

(5.12)

Из (5.13) следует, что любой массе (движущейся m или покоящейся m₀) соответствует определенное значение энергии. Если тело находится в состоянии покоя, то его энергия покоя

Энергия покоя является внутренней энергией тела, которая складывается из кинетических энергий всех частиц, потенциальной энергии их взаимодействия и суммы энергий покоя всех частиц.
В релятивистской механике не справедлив закон сохранения массы покоя. Именно на этом представлении основано объяснение дефекта массы ядра и ядерных реакций.
В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела (или системы) сопровождается эквивалентным изменением его массы:

(5.13)

Таким образом, масса тела, которая в классической механике является мерой инертности или гравитации, в релятивистской механике является еще и мерой энергосодержания тела.
Физический смысл выражения (5.14) состоит в том, что существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии.
Классическим примером этого является аннигиляция электрон-позитронной пары и, наоборот, образование пары электрон-позитрон из квантов электромагнитного излучения:

В релятивистской динамике значение кинетической энергии E_k определяется как разность энергий движущегося E и покоящегося E₀ тела:

(5.14)

При v << c уравнение (5.15) переходит в классическое выражение

Из формул (5.13) и (5.11) найдем релятивистское соотношение между полной энергией и импульсом тела:

(5.15)

Закон взаимосвязи массы и энергии полностью подтвержден экспериментами по выделению энергии при протекании ядерных реакций. Он широко используется для расчета энергического эффекта при ядерных реакциях и превращениях элементарных частиц.

Краткие выводы

• Специальная теория относительности – это новое учение о пространстве и времени, пришедшее на смену классическим представлениям. В основе СТО лежит положение, согласно которому никакая энергия, никакой сигнал не может распространяться со скоростью, превышающей скорость света в вакууме. При этом скорость света в вакууме постоянна и не зависит от направления распространения. Это положение принято формулировать в виде двух постулатов Эйнштейна – принципа относительности и принципа постоянства скорости света.
• Область применения законов классической механики ограничена скоростью движения материального объекта: если скорость тела соизмерима со скоростью света, то необходимо использовать релятивистские формулы. Таким образом, скорость света в вакууме является критерием, определяющим границу применимости классических законов, т.к. она является максимальной скоростью передачи сигналов.
• Зависимость массы движущегося тела от скорости движения определяется соотношением

• Релятивистский импульс тела и соответственно уравнение динамики его движения

• Изменение скорости в релятивистской механике влечет за собой изменение массы, а, следовательно, и полной энергии:

• В СТО выполняется закон сохранения релятивистской массы и энергии: изменение полной энергии тела сопровождается эквивалентным изменением ее массы:

Физический смысл этого соотношения заключается в следующем: существует принципиальная возможность перехода материальных объектов, имеющих массу покоя, в электромагнитное излучение, не имеющее массы покоя; при этом выполняется закон сохранения энергии. Это соотношение является важнейшим для ядерной физики и физики элементарных частиц.

Вопрос 12.

Закон взаимодействия электрических зарядов экспериментально установлен в 1785 г. французским ученым Ш. Кулоном. Природа вещей такова, что сила взаимодействия между двумя небольшими заряженными шариками прямо пропорциональна произведению величин их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Сила взаимодействия зарядов - сила центральная, т. е. направлена вдоль прямой,соединяющей заряды (рис. 1.1). Для изотропной среды закон Кулона записывается следующим образом:

где k – коэффициент пропорциональности; q₁ и q₂ - величины взаимодействующих зарядов; r – расстояние между ними; r – радиус-вектор, проведенный от одного заряда к другому и направленный к тому из зарядов, на который действует сила.

Формулировка закона Кулона: «Сила электростатического взаимодействия между двумя точечными электрическими зарядами прямо пропорциональна произведению величин зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль соединяющей их прямой так, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются».

Следует отметить, что закон Кулона применим для расчета взаимодействия точечных зарядов и тел шарообразной формы при равномерном распределении заряда по их поверхности или объёму.

Точечным зарядом называется заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел, несущих электрический заряд.

Экспериментальные исследования показали, что при прочих равных условиях сила электростатического взаимодействия зависит от свойств среды, в которой находятся заряды. Поэтому коэффициент пропорциональности k в законе Кулона представляют в виде k = k₁ / e, где k₁ - коэффициент, зависящий только от выбора системы единиц; e - безразмерная величина, которая характеризует электрические свойства среды и называется относительной диэлектрическойпроницаемостью среды. Для вакуума e= 1.

В системе единиц СИ единица заряда кулон (Кл) определяется через единицу силы тока ампер (А) и единицу времени секунду (с), так что 1 Кл = 1 А×1 с. Коэффициент k₁ в этой системе определяется следующим образом: k₁ = 1 / 4pe₀ = 8,988×10⁹ (Н×м²) / Кл², где e₀ = 8,85×10^–12 Кл² / (Н×м²) и носит названиеэлектрической постоянной.

Таким образом, закон Кулона для изотропной и однородной среды записывается в виде

Теорема Гаусса в интегральной форме.

Формулируется тремя способами:

1. Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности

(15.11)

Вектор – это такая характеристика поля, которая не зависит от диэлектрических свойств среды.

2. Так как , то теорему Гаусса для однородной и изотропной среды можно записать:

(15.12)

Вектор – это характеристика поля, которая зависит от диэлектрических свойств среды.

3. Поток вектора через любую замкнутую поверхность создается не только суммой свободных зарядов, но и суммой связанных зарядов

. (15.13)

Теорему Гаусса можно использовать для нахождения напряженности или электрического смещения в какой-либо точке поля, если через эту точку можно провести замкнутую поверхность таким образом, что все ее точки будут в симметричных (одинаковых условиях по отношению к заряду, находящемуся внутри замкнутой поверхности).

Такой поверхностью являются обычно сфера (если заряд точечный), или боковая поверхность цилиндра (если заряд линейный).

В качестве примера использования теоремы Гаусса найдем напряженность поля, создаваемую точечным зарядом в точке, удаленной на расстояние r от за��яда. С этой целью через заданную точку проведем сферическую поверхность радиусом r, полагая, что заряд находится в центре сферы (рис. 15.3).

Рис. 15.3. К определению поля точечного заряда

Элемент поверхности сферы перпендикулярен поверхности сферы и направлен в сторону внешней нормали, т.е. векторы и в каждой точке сферы совпадают по направлению

(15.14)

Напряженность поля:

Откуда

(15.15)

где C – постоянная интегрирования.

Вопрос 13.

Рассмотрим условия равновесия зарядов в проводнике, воспользовавшись понятием разности потенциалов. Как уже указывалось в § 16, при равновесии зарядов напряженность поля в проводнике должна равняться нулю (т. е. электрическое поле в проводнике отсутствует). Но на основании (23.1) это означает, что разность потенциалов между любыми точками проводника равна нулю. Это относится также и ко всем точкам поверхности проводника. Следовательно, поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью.

Так как линии поля перпендикулярны ко всем эквипотенциальным поверхностям (§ 22), то они перпендикулярны к поверхности проводника — вывод, который мы уже получили в § 18.

Если мы имеем два изолированных проводника 1и 2 (рис. 42), то поверхность каждого из них должна быть эквипотенциальной поверхностью. Но между поверхностями этих двух проводников может существовать разность потенциалов. Что произойдет, если эти два проводника соединить металлической проволокой? Между концами этой проволоки будет существовать разность потенциалов, равная разности потенциалов проводников. Следовательно, вдоль проволоки будет действовать электрическое поле, и поэтому в ней начнется движение свободных электронов, переходящих в сторону возрастания потенциала (§ 23), ибо электроны имеют отрицательный заряд. Вместе с этим движением начнется и перемещение электронов по проводникам 1 и 2, в результате которого имевшаяся вначале разность потенциалов между проводниками будет уменьшаться. Движение электронов, т. е. электрический ток в проводниках и в соединяющей их проволоке, будет продолжаться до тех пор, пока разность потенциалов между всеми точками этих проводников не станет равной нулю и поверхности обоих проводников и проволоки между ними не сделаются одной эквипотенциальной поверхностью.

Рис. 42. К объяснению возникновения движения зарядов при наличии разности потенциалов

Наш земной шар в целом является проводником. Поэтому поверхность Земли есть также эквипотенциальная поверхность. При построении эквипотенциальных поверхностей нередко выбирают в качестве нулевой эквипотенциальную поверхность, совпадающую с поверхностью Земли, и иногда говорят вместо «разность потенциалов» просто «потенциал» в данной точке. При этом имеют в виду ту разность потенциалов, которая существует между этой точкой и какой-либо точкой поверхности Земли. Как уже было разъяснено в § 22, выбор поверхности Земли в качестве нулевой эквипотенциальной поверхности является условным.

Вопрос 14.

Емкость проводников

Независимо от геометрической формы, которую имеет источник поля (шар, цилиндр, параллельные пластины и т.д.), потенциал поля пропорционален заряду источника. Увеличивая заряд вдвое, мы увеличим вдвое и потенциал. Однако для достижения одного и того же потенциала разным телам требуется разный заряд. Отношение величины заряда уединенного проводника к его потенциалу называется электрической емкостью или просто емкостью уединенного проводника.

,

то есть ёмкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. Если тело имеет большую емкость, то оно может иметь большой электрический заряд при относительно небольшом потенциале. Емкость зависит только от размеров и формы проводника, а также от свойств среды, в которую помещен проводник.

Единицу емкости в системе СИ называют Фарадом. Она названа так в честь Майкла Фарадея. Если при сообщении телу заряда в 1 Кл его потенциал увеличивается на 1 В, то емкость тела равна 1 Ф. Это очень большая емкость. Даже емкость Земли всего . Поэтому часто пользуются меньшими единицами емкости: 1 микрофарад (мкФ) = или 1 пикофарад (пФ) = . В системе СГС емкость выражается в сантиметрах: 1 Ф = .

Емкость шара. Емкость шара легко вычислить, подставив в формулу для емкости выражение для потенциала шара:

.

Емкость шара пропорциональна его радиусу. Например, емкость шара радиусом 10 см равна . То есть емкость шара в пикофарадах примерно равна его радиусу в сантиметрах. Приблизительно емкость любого изолированного проводника равна радиусу шара (в сантиметрах), имеющего примерно такую же площадь поверхности, как и тело.

Конденсатор - электрический прибор, состоящий из двух проводящих пластин, разделенных слоем диэлектрика. Конденсаторы служат для накопления зарядов с целью их отдачи в нужный момент времени, а также в цепях переменного тока для деления зарядов (параллельное соединение) и для деления напряжения (последовательное соединение).
- обозначение конденсатора на схеме.

- емкость конденсатора (С).