Зависимость скорости распространения звуковых колебаний от упругих свойств среды

Звуковые волны являются продольными волнами сжатия и растяжения, а скорость их распространения зависит от упругости среды.

Пусть на левый конец неподвижного стержня начинает действовать сила F, направленная вдоль стержня. За время ∆t под действием этой силы левый конец стержня сместится на расстояние ∆L, а фронт волны сжатия пройдёт за это время расстояние L. Все частицы стержня, находящиеся слева от фронта волны сжатия будут двигаться с одинаковой скоростью

, (5)

а скорость распространения волны (скорость звука)

. (6)

Так как за время ∆t деформировалась только часть стержня, то, применяя к этой части закон Гука, можно выразить силу, приложенную к стержню, через модуль Юнга E и площадь поперечного сечения стержня S

. (7)

Импульс, сообщённый силой F за время ∆t деформированной части стержня, равен

. (8)

Масса частиц, пришедших в движение за время ∆t равна m =ρSL, где ρ - плотность стержня. Тогда

. (9)

Так как FDt = mu, то из уравнений (8) и (9) получаем

. . (10)

Таким образом, скорость звука пропорциональна корню квадратному из модуля упругости среды.

Уравнение стоячей волны

После удара молотком по торцу стержня, в нём распространяется упругая бегущая волна. Достигнув противоположного конца стержня, волна отражается и движется навстречу первоначальной (падающей) волне. В результате интерференции (сложения) этих двух волн в стержне образуется стоячая волна.

Предположим, что падающая и отражённая волны имеют одинаковые амплитуды. Выберем начало координат в точке, в которой обе волны имеют одинаковую начальную фазу, а отсчёт времени начнём с момента, когда эта фаза равна нулю. Падающие и отражённые волны описываются уравнениями

, (11)

. (12)

Для результирующего смещения y=y_пад+y_отр получаем

. . (13)

Это и есть уравнение стоячей волны.

Из формулы (13) видно, что результирующее колебание имеет ту же частоту ω, но амплитуда его меняется от точки к точке. Во всех точках, для которых расстояние от источника колебаний (или от любой точки, в которой фазы совпадают) равно четному числу четвертей волны (т.е. любому целому числу полуволн), колебания происходят с удвоенной амплитудой. Это - пучности стоячей волны. Во всех точках, для которых x равно нечётному числу четвертей волны, амплитуда результирующего колебания равна нулю, т.е. эти точки вообще не совершают колебаний. Это - узлы стоячей волны. Положение в пространстве узлов и пучностей не меняется с течением времени (именно поэтому такие волны называются стоячими).

Длиной стоячей волны λ_ст называется расстояние между двумя соседними узлами или пучностями

. (14)

В отличие от бегущих волн, в стоячей волне отсутствует перенос энергии. Отсутствие переноса энергии стоячей волной является следствием того, что образующие эту волну падающая и отражённые волны переносят энергию в равных количествах и в противоположных направлениях.

Если конец стержня закреплён, то этот конец не совершает колебаний, и здесь наблюдается узел. Если же конец стержня свободен, то ему соответствует пучность. Стержень, закрепленный посередине, имеет в месте подвеса узел и пучности по краям.

Если размеры стержня таковы, что волны, последовательно отражаясь от двух концов стержня, усиливают друг друга, то при постоянном подводе энергии амплитуда результирующих колебаний возрастает - наступает явление резонанса. Если колебания в стержне возбуждены единичным ударом молотка по торцу, то со временем колебания затухают. Затухание упругих колебаний в стержне происходит вследствие излучения звуковых волн в воздух и внутреннего трения, что приводит к преобразованию энергии деформации в энергию теплового движения.

Для стержней, изготовленных из разных металлов (сталь, латунь, алюминий), скорость затухания колебаний будет различной. Промежуток времени τ, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз (е=2,7182...), называется временем релаксации (затухания) колебаний.

τ=N∙T, (15)

где N - число колебаний, по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз.

Декрементом затухания колебаний называется величина, обратная N,

, (16)

где A_i и A_i+k – амплитуды i-го и (i+k)-го максимумов колебаний. Величина , называемая добротностью колебательной системы, характеризует способность к длительному затуханию колебаний. Добротность можно выразить через период колебаний и время релаксации:

. (17)

Содержание работы и подробное описание установки

Дюралюминиевый стержень длиной 97 см подвешен к каркасу из уголков. Слева на вертикальной полоске закреплен молоточек. Справа от стержня, на некотором удалении от него установлен динамик марки 0,25 ГД.

В нашем случае динамик служит приёмником - преобразователем звуковых колебаний в электромагнитные колебания (т.е. служит микрофоном). Колебания с динамика подаются на вход усилителя вертикального отклонения осциллографа. На усилитель горизонтального отклонения подается сигнал с генератора синусоидальных колебаний типа ГЗ-118.

Ударом молоточком по торцу стержня возбуждают в стержне колебания. На экране осциллографа наблюдают кривую колебаний, затем, изменяя частоту колебаний генератора ГЗ-118, добиваются на экране осциллографа устойчивого изображения фигуры Лиссажу, по форме которой определяют частоту продольных колебаний стержня.

После определения частоты колебаний определяют декремент затухания и добротность резонатора путём наблюдения колебаний на экране осциллографа при линейной развертке (отключив ГЗ-118 соответствующим переключателем рода работ).

Путём измерения размеров стержня и последующего его взвешивания определяют среднюю плотность материала стержня, а по измеренной частоте резонансных колебаний и длине стержня определяют скорость звука в стержне. Эти данные позволяют определить величину модуля упругости E (модуля Юнга) материала стержня.

Контрольные вопросы:

2.Что такое гармонические колебания?

3.Вывести выражения для декремента затухания.

4.Вывести условие максимумов амплитуды результирующей волны.

5.Вывод уравнения, описывающего фигуры Лиссажу.

6.Как связана скорость распространения колебаний с модулем упругостью среды?

7.Объяснить возникновение стоячих волн.

Молекулярная физика

Лабораторная работа №18

ПОВЕРХНОСТНОЕ НАТЯЖЕНИЕ

Цель работы:экспериментальное изучение коэффициента поверхностного натяжения воды на примере образования капель.

Оборудование:пипетка с наконечником в виде капилляра, штангенциркуль, весы, сосуд с водой, термометр.

Описание работы

Повседневное общение с водой позволяет наблюдать интересные свойства поверхности жидкости. Например, капли, капающие из водопроводного крана, и капли утренней росы на травинках имеют форму, близкую к сферической. Стальную иголку можно пустить плавать по поверхности воды, хотя плотность стали гораздо больше плотности воды.

Поверхность жидкости напоминает натянутую плёнку, и это натяжение, параллельное поверхности, возникает из-за сил притяжения, действующих между молекулами жидкости. Этот эффект называется поверхностным натяжением. Количественно он описывается величиной коэффициента поверхностного натяжения σ, определяемого формулой

. (1)

Здесь F – сила натяжения, приложенная вдоль поверхности к элементу поверхности длины l перпендикулярно этому элементу. Известно, что малый объём жидкости сам по себе принимает форму близкую к шару, так как мала сила тяжести, действующая на каплю. В этом случае форма поверхности жидкости определяется именно силами поверхностного натяжения. Этим же объясняется почти строго шарообразная форма капель воды, вытекающих из капиллярной трубки. При выходе воды из трубки капля постепенно увеличивается и отрывается тогда, когда вес капли станет равным силе поверхностного натяжения, удерживающего каплю на краю трубки.

На рис.1 показано положение капли перед отрывом. В этот момент образуется шейка, радиус которой может быть несколько меньше или равен радиусу трубки. По окружности этой шейки и распределена удерживающая каплю сила поверхностного натяжения, которая в момент отрыва должна быть равна силе тяжести. Если шейка имеет радиус R, то сила поверхностного натяжения равна

F=2πRσ. (2)

Отрыв капли происходит, когда вес капли mg уравновесит силу F

2πRσ=mg. (3)

Отсюда можно определить коэффициент поверхностного натяжения

. (4)

Описание эксперимента:

В данной работе в качестве капиллярной трубки используется пипетка 1 (рис. 2) с резиновым наконечником 2, предварительно наполненная водой. Под пипеткой устанавливается лёгкая ёмкость 4, куда собираются оторвавшиеся капли. В работе используются весы с точностью взвешивания не хуже 0.1 г. и штангенциркуль для измерения диаметра кончика капиллярной трубки.

Порядок выполнения работы:

Поскольку вес одной оторвавшейся капли мал, то в целях повышения точности измерений собирается определённое количество капель n и измеряется их общий вес Р. Затем коэффициент поверхностного натяжения определяется по формуле:

. (5)

Перед началом проведения опытов проводится измерение диаметра d₁ кончика капилляра пипетки. Определяется вес пустой ёмкости, куда будут собираться капли воды. Затем в пипетку набирается некоторое количество воды, и опыт проводится в следующей последовательности.

При плавном сдавливании резинового колпачка пипетки сбрасывается 1-2 капли, затем остальные капли собираются в ёмкость. Поскольку вес одной капли 0.03 0.05 г., то собирается в ёмкость ≈ 100-200 капель. Так как при однократном наполнении пипетки в неё набирается не более 15 20 капель, то в одном эксперименте необходимо 10 20 раз наполнить пипетку водой. Для повышения точности и уменьшения величины случайных ошибок необходимо провести не менее пяти экспериментов.

При обработке результатов опытов следует иметь в виду, что диаметр шейки в момент отрыва капли меньше внешнего диаметра капилляра. Поэтому измеренный коэффициент поверхностного натяжения , где d ( d₂ 0.75∙d₁) - диаметр шейки капли, d₁ - диаметр кончика капилляра (рис.1), будет меньше, чем более точное значение σ, полученное другими методами. Однако если у экспериментатора есть возможность проецировать на экран увеличенную теневую картину образования и отрыва капли, то можно с достаточно хорошей точностью измерить диаметр шейки отрыва капли, зная диаметр кончика капилляра. В качестве источника света можно использовать диапроектор или фильмоскоп.

Содержание работы:

1. Определить коэффициент поверхностного натяжения воды при комнатной температуре.

2. Провести такой же эксперимент с горячей водой, измерив предварительно её температуру.

Контрольные вопросы.

1. Будет ли лежать на воде иголка. Что произойдёт если воду сделать солёной.

2. Что произойдёт, если ту же иголку положить на воду, в которой растворён мыльный или стиральный порошок.

3. Больше или меньше коэффициент поверхностного натяжения этих растворов по сравнению с обычной водой.

Лабораторная работа №19