Закон сохранения энергии. Центральный удар двух тел

Закон сохранения энергии — результат обобщения многих экспериментальных данных. Идея этого закона принадлежит М.В.Ломоносову (1711 —1765), изложившему закон сохранения материи и движения, а количественная формулировка закона сохранения энергии дана немецким

врачом Ю. Майером (1814—1878) и немецким естествоиспытателем Г. Гельмгольцем (1821 — 1894).

Е_к+Е_п =Е т. е. полная механическая энергия системы сохраняется постоянной. Выражение

представляет собой закон сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

Система где работу совершают только консервативные силы сохраняется полная энергия механического движения

ΔЕ = А_нк - изменение энергии систем осуществляется за счет работы неконсервативных сил

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Закон сохранения механической энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии является следствием однородности времени, т. е. инвариантностью (, неизменность, независимость от нек-рых физ. условий) физических законов относительно выбора начала отсчета времени. Например, при свободном падении тела в поле сил тяжести его скорость и пройденный путь зависят лишь от начальной скорости и продолжительности свободного падения тела и не зависят от того, когда тело начало падать.

В системе, в которой действуют также неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Следовательно, в этих случаях закон сохранения механической энергии несправедлив. Однако при «исчезновении» механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида

Центральный удар двух тел

Удар называется прямым и центральным, если центры масс тел до удара двигались по одной прямой, по оси х, точка встречи их поверхностей оказывается на этой же прямой и общая касательная Т к поверхностям будет перпендикулярна оси х (рис.112).

Данный комплекс задач, решаемый в рамках теории удара в свою очередь подразделяется на

§ абсолютно упругие столкновения;

§ абсолютно неупругие столкновения;

§ частично упругие столкновения.

Также этот комплекс задач подразделяется на задачи центрального и нецентрального столкновения.

Для двух тел прямым или центральным называется соударение, при котором общая нормаль к поверхности тел в точке касания проходит через их центры масс и когда скорости центров масс в начале удара направлены по общей нормали. Для многих тел центральным можно считать соударение, при котором для каждого из двух тел системы нормаль к поверхности тел в точке касания проходит через их центры масс и когда геометрическими размерами самих масс можно пренебречь.

ВОПРОС

Постулаты С.Т.О.
Механика больших скоростей, специальная теория относительности (С.Т.О.),
базируется на двух исходных утверждениях, постулатах:

1. Принцип относительности Эйнштейна, согласно которому

Никаким опытом невозможно определить, покоится данная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно, все законы природы имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отчета

1. Принцип постоянства скорости света:

Скорость света в вакууме является максимально возможной скоростью одинаковой во всех системах отсчета и не зависит ни от скорости движения источника, ни от скорости движения наблюдателя.

Преобразования Лоренца - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета. В отличие от преобразований Галилея преобразования Лоренца не должны противоречить постулатам С.Т.О.: необнаружимости абсолютного движения и постоянству скорости света. При скорости движения системы отсчета V<< c преобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея. ; ; ;

Преобразование промежутков времени и промежутков расстояния:

Закон сложения скоростей:

Динамика С.Т.О :

Пространственно-временной интервал

12. Молекулярно-кинетическая теория идеального газа.

Основные положения М.К.Т. :

1) вещество состоит из частиц – атомов и молекул;

2) эти частицы хаотически движутся;

3) частицы взаимодействуют друг с другом.

Основные уравнения М.К.Т. :

p=1/3*m₀*n*<ν²> <ν²> - средний квадрат скорости;

n – концентрация;

m₀ – масса одной молекулы;

< Е_кп0 > = m₀*<ν²>/2 < Е_кп0 > - средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы;

p=2/3*n*< Е_кп0 >

p= n*k*T k – постоянная Больцмана;

T – температура;

< Е_кп0 > = 3/2*k*T

С точки зрения М.К.Т., температура является мерой средней кинетической энергии < Е_к > .

13. Уравнение состояния идеального газа, т.е. уравнение Менделеева – Клапейрона:

P*V=ν*R*T ν – количество вещества;

R – газовая постоянная;

ν=m/M=N/N_A M – молярная масса;

N – число молекул;

N_A – постоянная Авогадро;

M=m₀*N_A

Изопроцессы.

1) Изотермический.

p₁V₁=p₂V₂ p₁/ p₂= V₂/ V₁

2) Изобарный. Закон Гей – Люссака.

V₁/Т₁= V₂/Т₂ Т₂/ Т₁= V₂/ V₁

3) Изохорный.

p₁/Т₁=p₂/Т₂ p₁/p₂= Т₁/Т₂

4)

p_см= p₁+ p₂+…

Давление создаваемое смесью газов в некотором объеме, равно сумме давлений, которое создавали бы в этом объеме газы по отдельности.

Закон Авогадро.

P*V/T=const - уравнение Клапейрона

P=n*R/N_A*T=n*k*T - закон Авогадро

k=R/N_A

14.Распределение Максвелла

В состоянии теплового равновесия как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул в газе, при Т=cоnst, остается постоянной и равной . Это объясняется тем, что в газе устанавливается некоторое стационарное статистическое распределение молекул по значениям скоростей, называемое распределением Максвелла. Распределение Максвелла описывается некоторой функцией f(u), называемой функ­ци­ей распределения молекул по скоростям.

,

где N – общее число молекул, dN(u) – число молекул, скорости которых принадлежат интервалу скоростей от u до u + du.

Таким образом, функция Максвелла f(u) равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей вблизи значения u. Или она равна доле молекул, скорости которых принадлежат единичному интервалу скоростей вблизи значения u.

Явный вид функции f(u) был получен теоретически Максвеллом:

.

График функции распределения приведен на рис. 12. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при u®0 и u®¥ и проходит через максимум при некоторой скорости u_В, называемой наиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно u_В. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие для максимума функции f(u).

.

На рис. 13 показано смещение u_В с изменением температуры, при этом площадь под графиком остается постоянной и равной 1, что следует из условия нормировки функции Максвелла

.

Условие нормировки следует из смысла данного интеграла – он определяет вероятность того, что скорость молекулы попадает в интервал скоростей от 0 до ¥. Это достоверное событие, его вероятность, по определению, принимается равной 1.

Знание функции распределения молекул газа по скоростям позволяет вычислять средние значения любых функций скорости, в частности средней арифметической скорости <u>.

.

Рис.12 Рис. 13

По функции Максвелла можно определить долю молекул, скорости которых принадлежат заданному интервалу скоростей или превышают некоторое значение скорости, например вторую космическую, что определяет рассеяние атмосферы.

Распределение Больцмана

Тепловое движение частиц тела приводит к тому, что положение их в пространстве изменяется случайным образом. Поэтому можно ввести функцию распределения частиц по координатам, определяющую вероятность обнаружения частицы в том или ином месте пространства.

где - плотность вероятности, т.е. вероятность обнаружения частицы в единичном объеме вблизи точки с радиус-вектором .

При отсутствии внешних силовых полей существует равномерное распределение частиц идеального газа по координатам, при этом можно записать

,

где n - концентрация частиц, N - полное число частиц газа.

Внешнее силовое поле изменяет пространственное распределение частиц, при этом концентрация частиц и функция распределения зависят от координат. Если внешнее силовое поле является потенциальным, то концентрация частиц вблизи точки пространства с радиусом-вектором зависит от потенциальной энергии частиц в данном месте:

где n_o - концентрация частиц в том месте, где E_p=0.

В этом случае вероятность обнаружить частицу в объеме dV вблизи точки с радиусом-вектором определяется выражением

.

Этот закон называется распределением Больцмана.

Для идеального газа давление связано с концентрацией соотношением Р=nkT. В поле земного тяготения концентрация изменяется с высотой над поверхностью Земли, и если газ находится в равновесном состоянии при температуре Т, то изменение давления с высотой происходит по закону

.

Последнее соотношение называется барометрической формулой. В действительности земная атмосфера не находится в равновесном состоянии, ее температура меняется с высотой, и барометрическую формулу следует применять к участкам атмосферы, в пределах которых изменением температуры можно пренебречь. Из барометрической формулы следует, что давление различных газов изменяется с высотой по-разному. На рис. 14 показано изменение давления газа с высотой для различных газов при T = const, а на рис. 15 – изменение давления газа (m = const) при разных темпе­ра­ту­рах.

m1>m2

h

Рис.14

T2>T1

P

Рис.15

h

P01 P02