Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии

Пусть:

- дана система материальных точек массами mi, i=1,2…n;

- Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru - равнодействующая внутренних консервативных сил, действующих на i – тую точку системы;

- Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru - равнодействующая внешних консервативных сил, действующих на i – тую точку системы;

- неконсервативные силы отсутствуют;

- vi<<c.

Запишем для всех точек системы второй закон Ньютона в виде:

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , где Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru i=1,2…n.

Пусть за dt каждая из точек под действием сил переместится на Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . Умножая каждое из предыдущих уравнений на соответствующее ему последующее, имеем:

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , где Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru i=1,2…n ,

или: Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , где Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru i=1,2…n .

Сложим эти уравнения и получим:

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . (3.5.1)

Первый член этого равенства – приращение кинетической энергии системы, так как: Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru .

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, взятой со знаком минус, т.е. равен элементарному приращению потенциальной энергии системы:

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru .

Тогда уравнение (3.5.1)можно записать в виде:

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru .

Откуда: Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . Т.е. полная механическая энергия такой системы сохраняется. Итак:

Закон сохранения полной механической энергии:В системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется.

Этот закон связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Существует еще один вид систем – диссипативные системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс называется диссипацией (рассеянием) энергии. Строго говоря, все системы в природе – диссипативные.

Общефизический закон сохранения энергии: В изолированной системе энергия может переходить из одной формы в другую, но ее количество остается постоянным.

Соударение тел.

Примером применения законов сохранения импульса и энергии при решении реальной физической задачи является удар абсолютно упругих и неупругих тел.

Удар(или соударение) - это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Исходя из данного определения, кроме явлений, которые можно отнести к ударам в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров), сюда можно отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т.д. При ударе в телах возникают столь значительные внутренние силы, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет рассматривать соударяющиеся тела как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения показывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru: Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru .

Если для сталкивающихся тел Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru =0, то такие тела называются абсолютно неупругими,если Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru =1 - абсолютно упругими.На практике для всех тел 0<Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru <1 (например, для стальных шаров Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru0,56, для шаров из слоновой кости Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru0,89, для свинца Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru0). Однако в некоторых случаях тела можно с большой точностью рассматривать либо как абсолютно упругие, либо как абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, называется линией удара. Удар называется центральным,если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рассматривать только центральные абсолютно упругие и абсолютно неупругие удары.

Абсолютно упругий удар- столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию.

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru Обозначим скорости шаров массами Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru и Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru до удара через Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru и Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru (рис. 3.4). При прямом центральном ударе векторы скоростей шаров до и после удара лежат на прямой линии, соединяющей их центры. Проекции векторов скорости на эту линию равны модулям скоростей. Их направления учтем знаками: положительное значение припишем движению вправо, отрицательное - движению влево.

При указанных допущениях законы сохранения имеют вид:

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , (3.6.1)

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . (3.6.2)

Произведя соответствующие преобразования в выражениях (3.6.1) и (3.6.2), получим

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , (3.6.3)

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , (3.6.4)

откуда: Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . (3.6.5)

Решая уравнения (3.6.3) и (3.6.5), находим

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , (3.6.6)

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . (3.6.7)

Рассмотрим несколько частных случаев.

1) При Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru =0

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , (3.6.8)

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . (3.6.9)

Проанализируем выражения (3.6.8) и (3.6.9) для двух шаров различных масс:

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru а) Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru > Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . Первый шаг продолжает двигаться в том же направлении, как и до удара, но с меньшей скоростью ( Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru ). Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого после удара ( Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru ) (рис. 3.5).

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru б) Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru < Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . Направление движения первого шара при ударе изменяется - шар отскакивает обратно. Второй шар движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с меньшей скоростью, т.е. Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru (рис. 3.6).

в) Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru >> Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru (например, столкновение шара со стеной). Из уравнений (3.6.8) и (3.6.9) следует, что Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru .

2) При Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru = Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru выражения (3.6.6) и (3.6.7) будут иметь вид

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru ,

т.е. шары равной массы "обмениваются" скоростями.

Абсолютно неупругий удар- столкновение двух тел, в результате которого тела объединяются, двигаясь дальше как единое целое. Продемонстрировать абсолютно неупругий удар можно с помощью шаров из пластилина (глины), движущихся навстречу друг другу (рис. 3.7).

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru Если массы шаров Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru и Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , их скорости до удара Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru и Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , то, используя закон сохранения импульса, можно записать

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru ,

откуда

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru . (3.6.10)

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую двигался шар, обладающий большим импульсом.

Выясним, как изменяется кинетическая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между ними действуют силы, зависящие не от самих деформаций, а от их скоростей, то мы имеем дело с силами, подобными силам трения, поэтому закон сохранения механической энергии не должен соблюдаться. Вследствие деформации происходит "потеря" кинетической энергии, перешедшей в тепловую или другие формы энергии. Эту "потерю" можно определить по разности кинетической энергии тел до и после удара:

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru .

Используя (3.6.10), получим

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru .

Если ударяемое тело было первоначально неподвижно ( Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru ), то

Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru , Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru .

Когда Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru >> Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru (масса неподвижного тела очень большая), то v<< Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru и почти вся кинетическая энергия тела при ударе переходит в другие формы энергии. Поэтому, например, для получения значительной деформации наковальня должна быть массивнее молотка. Наоборот, при забивании гвоздей в стену масса молотка должна быть гораздо большей ( Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru >> Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru ), тогда Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения энергии. Диссипация энергии - student2.ru и практически вся энергия затрачивается на возможно большее перемещение гвоздя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар - пример того, как происходит "потеря" механической энергии под действием диссипативных сил.

Наши рекомендации