Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину

Нехай функція визначена на інтервалі і в кожній точці цього інтервалу має скінчену похідну. Тоді в кожній точці графіка цієї функції можна провести дотичну, не паралельну осі . Крива, яка є графіком цієї функції, називається гладкою.

Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не нижче будь-якої дотичної на інтервалі , то вона називається вгнутою догори або просто вгнутою на цьому інтервалі. Іноді її ще називають опуклою вниз (рис. 25).

Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не вище будь-якої дотичної на інтервалі , то вона називається вгнутою донизу або просто опуклою на цьому інтервалі. Таку криву ще називають опуклою вгору (рис. 26).

Точка називається точкою перегину гладкої кривої , якщо існує -окіл точки такий, що в інтервалах і крива має опуклість різних напрямків (рис. 27).

У цьому випадку графік функції в інтервалах і лежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці .

Теорема. Нехай функція визначена на інтервалі і в кожній точці цього інтервалу має похідні до другого порядку включно. Тоді, якщо у всіх точках , то графік функції на інтервалі вгнутий (опуклий вниз), якщо ж у всіх точках , то графік функції на інтервалі опуклий (опуклий вгору).

Доведення. в інтервалах і лежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці .

Нехай . Виберемо точку і покажемо, що графік функції лежить не нижче дотичної, яка проходить через точку . Щоб відрізняти ординату графіка функції і ординату дотичної, останню будемо позначати буквою . Запишемо рівняння дотичної в точці :

(1)

Оскільки функція має похідні до другого порядку включно, то згідно формули Тейлора (при ) маємо:

(2)

де . Віднімемо від рівності (2) рівність (1)

.

Оскільки , то , тобто . Отже, графік функції у будь-якій, відмінній від , точці лежить вище дотичної, проведеної до нього в точці з абсцисою .

Аналогічно доводиться теорема для випадку .

Установимо необхідну умову існування точки перегину графіка функції . Нехай функція визначена і має неперервні похідні до другого порядку включно на інтервалі . Тоді. Якщо в кожній точці , то графік функції на інтервалі вгнутий (опуклий вниз). Якщо , , - то графік опуклий (опуклий вгору).

Отже, якщо на інтервалі , то графік функції точок перегину на цьому інтервалі не має. Таким чином, точка , де може бути точкою перегину графіка функції лише в тому випадку, коли .

Отже, умова є необхідною, для того, щоб точка була точкою перегину графіка функції .

Покажемо, що не всяка точка за умови є точкою перегину. Розглянемо такий приклад: Нехай . Тоді при . Але точка не є точкою перегину графіка функції (рис. 28).

Установимо достатню умову існування точки перегину графіка функції . Нехай точка така, що й існує таке , що в інтервалах і друга похідна має різні знаки. Тоді точка є точкою перегину. Дійсно, за вказаних умов у інтервалах і крива має опуклість різних напрямків. Отже, точка є точкою перегину цієї кривої.

Зауваження. Точка є точкою перегину графіка функції і в тому випадку, коли в точці існує дотична до графіка функції , друга похідна в самій точці не існує, але існує в деякому -околі точки , причому в інтервалах і має різні знаки.

Це установлюється аналогічно попередньому.

Приклад. Нехай . Ця функція в точці має нескінченну похідну першого порядку й дотична до її графіка в точці співпадає з віссю . Друга похідна в точці не існує. Графік функції в точці має перегин, оскільки справа і зліва від точки друга похідна має різні знаки (рис. 29).

Асимптоти графіка функції

Пряма називається асимптотою кривої , якщо відстань від точки кривої до прямої при віддаленні точки у нескінченність прямує до нуля.

Із наведеного означення випливає, що асимптоти можуть існувати лише у тих кривих, які мають як завгодно віддалені точки, тобто у “нескінчених” кривих.

Надалі розрізнятимемо похилі і вертикальні асимптоти. До похилих асимптот належать також і горизонтальні асимптоти.

Теорема.Якщо функція визначена на нескінченості і існують границі

(1)

то пряма є похилою асимптотою кривої при .

Аналогічно, якщо існують границі

(2)

то пряма є похилою асимптотою кривої при .

Доведення. Розглянемо випадок . Оскільки за умовою існують границі (1), то . Число дорівнює довжині відрізка від точки прямої до точки графіка функції (рис. 30).

Відстань від точки до прямої рівна , де - кут, який утворює пряма з додатним напрямом вісі ( , оскільки мова йде про похилі асимптоти). Отже, = . Тоді

.

Випадок, коли доводиться аналогічно.

Якщо , то пряма є горизонтальною асимптотою графіка функції при . Те ж стосується і випадку .

Зауваження. Якщо не існує границя , то не існує і границя . Отже, у цьому випадку графік функції при асимптот не має. Якщо границя існує і рівна , а границя не існує, то у цьому випадку графік функції також асимптот не має.

Із означення асимптоти кривої випливає, що пряма є вертикальною асимптотою, якщо принаймні одна з границь або рівна або .