Свободные колебания. Пружинный маятник

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Гармонические колебания

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения.

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
Рисунок 2.1.1. Механические колебательные системы.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением

 
x = xm cos (ωt + φ0).
 

Здесь x – смещение тела от положения равновесия, xm – амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ0, поэтому φ0 называют начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T. Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний:

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

 
Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
 

На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
Рисунок 2.1.2. Стробоскопическое изображение гармонических колебаний. Начальная фаза φ0 = 0. Интервал времени между последовательными положениями тела τ = T / 12.

Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний xm, либо период T (или частота f), либо начальная фаза φ0.

Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
Рисунок 2.1.3. Во всех трех случаях для синих кривых φ0 = 0: а – красная кривая отличается от синей только большей амплитудой (x'm > xm); b – красная кривая отличается от синей только значением периода (T' = T / 2); с – красная кривая отличается от синей только значением начальной фазы ( Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru рад).

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

В математике процедура нахождения предела отношения Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru при Δt → 0 называется вычислением производной функции x(t) по времени t и обозначается как Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru или как x'(t) или, наконец, как Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru . Для гармонического закона движения x = xm cos (ωt + φ0). Вычисление производной приводит к следующему результату:

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωxm достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = ax тела при гармонических колебаниях:

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

следовательно, ускорение a равно производной функции υ(t) по времени t, или второй производной функции x(t). Вычисления дают:

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a(t) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x(t), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

На рис. 2.1.4 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
Рисунок 2.1.4. Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела, совершающего гармонические колебания.

Свободные колебания. Пружинный маятник

Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

  F(t) = ma(t) = –mω2x(t).  

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука (см. §1.12):

  Fупр = –kx.  

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную совершать в отсутствие трения свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

откуда

 
Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
 

Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.

Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

 
Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
 

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

или

 
Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
(*)

где Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

 
x = xm cos (ωt + φ0).
 

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний. Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω0 или период T. Такие параметры процесса колебаний, как амплитуда xm и начальная фаза φ0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то xm = Δl, φ0 = 0.

Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость ± υ0, то Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru , Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru

Таким образом, амплитуда xm свободных колебаний и его начальная фаза φ0 определяются начальными условиями.

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. При повороте диска на угол θ возникает момент сил Mупр упругой деформации кручения:

  Mупр = –χθ.  

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

где I = IC – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

  Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru  

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Свободные колебания. Пружинный маятник - student2.ru
Рисунок 2.2.2. Крутильный маятник.

Наши рекомендации