Расчет пусковых характеристик

Известно, что с увеличением частоты тока в стержнях обмотки короткозамкнутого ротора возникает эффект вытеснения тока, в результате которого плотность тока в верхней части стержней возрастает, а в нижней – уменьшается, при этом активное сопро­тивление ротора увеличивается, а индуктивное – уменьшается. Изменение сопротивлений ротора влияет на пусковые характеристики машины.

В большинстве случаев эффект вытеснения тока в обмотках короткозамкнутых роторов играет положительную роль, так как увеличивает начальные моменты двигателей. Это широко используют при проектиро­вании асинхронных машин, выполняя роторы с глубокими прямоуголь­ными или фигурными пазами или с двойной беличьей клеткой, в кото­рых эффект вытеснения тока проявляется особенно сильно. Однако не­равномерное распределение плотности тока по сечению стержня ротора может привести и к нежелательным последствиям. Например, при не­удачно выбранных размерных соотношениях стержней чрезмерно воз­растающая в пусковых режимах плотность тока в их верхних участках может вызвать неравномерное тепловое удлинение стержней и их изгиб. При этом стержни разрывают усики пазов и выгибаются в воздушный зазор, что неизбежно приводит к выходу двигателя из строя. В связи с этим правильный учет влияния эффекта вытеснения тока является не­обходимым при проектировании асинхронных машин с короткозамкнутыми роторами.

В расчетах оказалось удобнее определять не непосредственно активное и индуктивное сопротивления стержней при неравномерной плотности тока, а их относительные изменения под действием эффекта вытеснения тока. Эти изменения оценивают коэффициентами k_r и k_Д. Коэффициент k_r показывает, во сколько раз увеличилось активное сопротивление пазовой части стержня r_cξ при неравномерной плотности тока в нем по сравнению с его сопротивлением r_с при одинаковой плотности по все­му сечению стержня:

(10.1)

Коэффициент демпфирования k_д показывает, как уменьшилась маг­нитная проводимость λ_Пξ участка паза, занятого проводником с током, при действии эффекта вытеснения тока по сравнению с проводимостью того же участка, но при равномерной плотности тока в стержне λ'_п:

(10.2)

Аналитическими выражениями, определяющими k_r и k_Д, получен­ными для прямоугольных стержней при допущениях о постоянстве удельного сопротивления материала стержня по всей площади его поперечного сечения, бесконечности магнитной проницаемости стали магнитопровода и прямолинейности магнитных линий потока рассеяния в пазу, являются:

(10.3)

В этих выражениях ξ, "приведенная высота" стерж­ня — величина безразмерная, значение которой определяется по фор­муле

(10.4)

где h_c – высота стержня в пазу, м: h_С = h_П2 – (h_Ш + h'_Ш)_; b_с и b_п – ши­рина стержня и ширина паза, м. При расчете роторов со вставными стерж­нями принимают b_c = 0,9b_П; в роторах с литой обмоткой b_c = b_П; f₂ — частота тока в роторе в расчетном режиме, Гц; р_cυ— удельное соп­ротивление материала стержня при расчетной температуре, Ом · м.

Для двигателей общего назначения с медными вставными стержнями короткозамкнутого ротора при расчетной температуре 75°С

(р_с75 = 10^-6/47 Ом·м, ) из (10.4) имеем

(10.5)

При расчетной температуре 115°С (r_с75=10^-6/47Ом×м)

(10.6)

При литой алюминиевой обмотке ротора при расчетных температурах 75°С (р_с75=10^-6/21,5 Ом·м) и 115˚С (p_cll5 = 10^-6/20,5 Ом·м) соответственно имеем

(10.7)

(10.8)

Анализ зависимостей (10.3) показывает, что при ξ < 1 эффект вы­теснения тока практически не влияет на сопротивления стержней. Это является критерием необходимости его учета при проектировании.

В расчетах условно принимают, что при действии эффекта вытеснения ток ротора распределен равномерно, но не по всему сечению стержня, а лишь по его верхней части, ограниченной высотой h_r, имеющей сечение q_r и сопротивление r_cξ = r_cq_c/q_r , h_r называют глубиной проникнове­ния тока в стержень. Для прямоугольных стержней h_r = h_c /k_r.

При определении λ_Пξ аналогично принимают, что ток равномерно распределен по верхней части сечения стержня высотой h_x.

В практических расчетах для определения k_r и k_д пользуются не ана­литическими зависимостями (10.3) , а построенными на их основе кри­выми φ(ξ) и φ΄(ξ) (рис. 10.1 и 10.2). Принятые при выводе (10.3) допущения приводят к положению, что на глубину проникновения не влияют высота и конфигурация стержня. Это позволяет использовать (10.3) и кривые φ(ξ) и φ΄(ξ) для определения k_r и k_д в стержнях различных конфигураций. Расчет проводят в следующей последователь­ности. По полной высоте стержня, частоте тока и удельному сопротив­лению материала стержня по (10.4) определяют функцию ξ, в соответствии с которой по кривым рис. 10.1 находят функцию φ, а по кривым рис. 10.2 — функцию φ'.

Рис. 10.1. Кривые j и j_КР в функции «приведенной высоты» x

(j»x-1 приx>4 и j=0,089x⁴ при x<1)

Далее определяют глубину проникновения тока

(10.9)

и коэффициент k_д = φ'.

Коэффициент k_r находят по отношению площадей всего сечения стержня и сечения, ограниченного высотой h_r, т.е.

. (10.10)

Рис.10.2. Зависимость j¢ от «приведенной высоты» x ; при x>4 и j¢=3/2x

По значениям k_r и k_Д можно найти сопротивление пазовой части стержня обмотки ротора и коэффициент магнитной проводимости участка паза ротора, занятого стержнем с током:

(10.11)

(10.12)

Для определения k_r в стержнях некоторых наиболее распростра­ненных конфигураций используют заранее полученные расчетные фор­мулы:

для прямоугольных стержней (рис. 10.3, а)

; (10.13)

для круглых стержней (рис. 10.3, б)

(10.14)

функция φ_КР для круглого стержня представлена на рис. 10.1.

для грушевидных стержней (рис. 10.3, в)

. (10.15)

здесь .

Площадь сечения q_r при

(10.16)

где

При h_r≤b₁₂/2 площадь

(10.17)

При h_r > h₁₂+ b₁₂/2 принимают q_r≈ q_c и k_r = 1.

Для трапецеидальных стержней с узкой верхней частью (см. рис. 10.3, г)

q_c определяют по (10.15) . Площадь q_r при h_r ≤ b₁₂/2 определяют по (10.17) и при h_r ≥ b₁/2 – по (10.16) , причем

(10.18)

Рис. 10.3. К расчету k_r в стержнях различной конфигурации:

h_r - расчетная глубина проникновения тока

Для других конфигураций стержней k_r может быть определен из общего выражения k_r =q_c/q_r с учетом размерных соотношений стерж­ня и глубины проникновения тока в стержень h_r.

Для расчета характеристик необходимо учитывать изменение сопротивления всей обмотки ротора r₂, поэтому удобно ввести коэффи­циент общего увеличения сопротивления фазы ротора под влиянием эффекта вытеснения тока:

(10.19)

где r_2ξ – сопротивление фазы короткозамкнутого ротора с учетом влияния эффекта вытеснения тока.

Выражение (10.19) легко преобразовать в более удобный для рас­чета вид:

(10.20)

Для прямоугольных стержней это выражение приобретает вид

(10.21)

В (10.20) и (10.21) для роторов без радиальных вентиляционных каналов с литой обмоткой (с прилегающими замыкающими кольцами) r_c'=r_c.

Для роторов с радиальными вентиляционными каналами и роторов с отставленными замыкающими кольцами

(10.22)

где l_с — полная длина стержня, равная расстоянию между замыкающи­ми кольцами, м; n_К и b_К — число и ширина, м, радиальных вентиля­ционных каналов; l₂ — длина сердечника ротора, м.

Активное сопротивление фазы обмотки ротора с учетом вытеснения тока будет равно:

(10.23)

Обозначив коэффициентом К_х изменение индуктивного сопротивления фазы обмотки ротора от действия эффекта вытеснения тока, получим

(10.24)

тогда

, (10.25)

где λ_Пξ - коэффициент магнитной проводимости пазового рассеяния с учетом эффекта вытеснения тока,

здесь

λ΄_П2 – коэффициент магнитной проводимости участка паза, занятого проводником с обмоткой (выражение для определения λ'_П2 в формулах табл. 7.5 является множителем перед коэффициентом k_Д).

Выше рас­сматривались методы расчета параметров при допущении отсутствия насыщения стали магнитопровода полями рассеяния, магнитная про­ницаемость которой принималась равной бесконечности. При расчетах параметров холостого хода и рабочих режимов это допущение вполне оправдано, так как токи в этих режимах относительно малы и потоки рассеяния не создают заметного падения магнитного напряжения в ста­ли зубцов. При увеличении скольжения свыше критического и в пуско­вых режимах токи в обмотках возрастают и потоки рассеяния увеличи­ваются. Коронки зубцов статора ротора в машинах средней и большой мощности в большинстве случаев оказываются сильно насыщенными.

Насыщение коронок зубцов (рис. 10.4) приводит к увеличению магнитного сопротивления для части потока рассеяния, магнитные линии которого замыкаются через верхнюю часть паза. Поэтому коэффициент магнитной проводимости пазового рассеяния уменьшается. Несколько снижается также магнитная проводимость дифференциального рассея­ния. На ко

эффициент магнитной проводимости лобового рассеяния на­сыщение стали по токами рассеяния влияния не оказывает.

Рис. 10.4. Насыщение участков коронок зубцов потоком рассеяния

Рис. 10.5. Функция χδ в зависимости от фиктивной индукции Вδф

Уменьшение потока пазового рассеяния из-за насыщения приближен­но учитывают введением дополнительного раскрытия паза, равного с_э. Дополнительное раскрытие с_э принимается таким, чтобы его магнитное сопротивление потоку рассеяния было равно магнитному сопротивлению насыщенных участков зубцов. При этом условии можно использовать для расчета коэффициента магнитной проводимости паза с учетом насы­щения обычные формулы, предполагая, что μ_ст = ∞. Уменьшение λ_п из-за насыщения участков зубцов (Δλ_п._нас) будет определяться с_э. Таким образом, с_э зависит от уровня насыщения верхней части зубцов потоками рассеяния и, следовательно, от МДС паза, т.е. от тока в обмот­ке. Так как ток обмотки в свою очередь зависит от индуктивного сопро­тивления, определяемого магнитной проводимостью, то расчет прихо­дится проводить методом последовательных приближений. Первоначаль­но задаются предполагаемой кратностью увеличения тока, обусловлен­ной уменьшением индуктивного сопротивления из-за насыщения зубцовой зоны:

где I – ток, рассчитанный для данного режима без учета насыщения;
I_нас — ток в этом же режиме работы машины при насыщении участков зубцов полями рассеяния.

Ориентировочно для расчета пусковых режимов принимают k_нас=1,25÷1,4; для режима максимального момента k_нас = 1,1 ÷ 1,2.

Для двигателей с открытыми пазами следует задаваться меньшими значениями k_нас, при полузакрытых пазах – большими.

Расчет проводят в следующей последовательности. Определяют сред­нюю МДС обмотки, отнесенную к одному пазу обмотки статора:

(10.26)

где I₁ — ток статора, соответствующий расчетному режиму, без учета насыщения; а — число параллельных ветвей обмотки статора; u_п1 — число эффективных проводников в пазу статора; k'_β — коэффициент, учитывающий уменьшение МДС паза, вызванное укорочением шага об­мотки, рассчитывается по (7.25) или по (7.26); k_yl — коэффициент укорочения шага обмотки.

По средней МДС F_п.cр рассчитывают фиктивную индукцию потока рассеяния в воздушном зазоре, Тл:

(10.27)

где коэффициент

(10.28)

(t_Z1 и t_Z2 - зубцовые деления статора и ротора).

По полученному значению B_δф определяют отношение потока рассеяния при насыщении к потоку рассеяния ненасыщенной машины, характеризуемое коэффициентом χ_δ, значение которого находят по кривой рис.10.5.

Далее рассчитывают значения дополнительного эквивалентного раскрытия пазов статора и ротора (с_э1 и с_э2) , магнитные напряжения которых будут эквивалентны МДС насыщенных участков усиков зубцов. Для пазов статора его принимают равным

(10.29)

Вызванное насыщением от полей рассеяния уменьшение коэффициен­та магнитной проводимости рассеяния открытого паза (рис.10.6, а)

(10.30)

Для полуоткрытых и полузакрытых пазов расчетная формула не­сколько усложняется из-за более сложной конфигурации их верхних клиновых частей. Для полуоткрытого паза (рис. 10.6, б)

(10.31)

Рис. 10.6. К расчету влияния насыщения потоком рассеяния на коэффициент маг­нитной проводимости паза:

а—ж — различные конфигурации верхней части пазов

Для полузакрытого паза (рис. 10.6, в, г)

(10.32)

Для фазных и короткозамкнутых роторов дополнительное раскрытие рассчитывают по формуле

(10.33)

Уменьшение коэффициента проводимости для открытых и полузак­рытых пазов ротора (рис. 8.62, д—ж)

(10.34)

Коэффициент магнитной проводимости пазового рассеяния при на­сыщении λ_П1нас определяют для статора из выражения

(10.35)

где λ_П1 — проводимость, рассчитанная без учета насыщения.

Для ротора

(10.36)

где l_П2x — проводимость пазового рассеяния ротора для ненасыщенной зубцовой зоны с учетом влияния вытеснения тока.

Коэффициенты проводимости дифференциального рассеяния при насыщении участков зубцов статора l_Д1нас и ротора l_Д2нас

(10.37)

Значения χ_d принимают по кривым рис. 10.5.

Индуктивное сопротивление обмотки статора с учетом насыщения от полей рассеяния определяют по отношению сумм коэффициентов проводимости, рассчитанных без учета и с учетом насыщения от полей рассеяния:

. (10.38)

Для ротора принимают отношения сумм проводимостей, рассчитанных без учета влияния насыщения и действия эффекта вытеснения тока (для номинального режима) и с учетом этих факторов:

. (10.39)

Значения параметров x_1нас и x_2xнас используют при расчете точек характеристик при скольжениях s ³ s_kр. Полученные для каждой из точек характеристики отношения токов, рассчитанных с учетом и без учета насыщения, сравнивают с принятыми коэффициентами k_нас. Если расхождение превышает 5%, то расчет для этого значения s повторяют, внося соответствующую корректировку в первоначально принимаемый коэффициент k_нас.

Пусковые свойства асинхронных двигателей характеризуются начальным пусковым и максимальным мо­ментами и начальным пусковым током. В двигателях с фазными рото­рами начальный момент и пусковой ток определяются сопротивлением пускового реостата. В двигателях с короткозамкнутыми роторами зна­чения моментов и начального тока зависят от соотношений параметров. Кроме того, важным показателем пусковых свойств короткозамкнутого двигателя является значение минимального момента. Уменьшение момента в процессе разгона двигателя может произойти в связи с изме­нением соотношения параметров при уменьшении скольжения.

Стандарты на асинхронные двигатели устанавливают наименьшие допустимые относительные значения моментов и наибольшие относительные значения начальных пусковых токов для выпускаемых асинхронных машин в зависимости от их мощности, исполнения и числа пар полюсов.

Таблица 10.1

Кратность начальных пусковых моментов M_П* и токов I_П* асинхронных двигателей

Исполнение	2р	Высота оси вращения, мм
£132	160–250	³280
Мп*	Iп*	Мп*	Iп*	Мп*	Iп*
IP44		1,7-2	6,5-7,5	1,2-1,4	7-7,5	1-1,2	6,5-7
	2-2,2	5-7,5	1,2-1,4	6,5-7,5	1,2-1,3	5,5-7
	2-2,2	4-6,5	1,2-1,3	5-6,5	1,4	5,5-6,5
	1,6-1,9	4-5,5	1,2-1,4	5,5-6	1,2	5,5-6,5
	-	-	1,2
	-	-	-	-
IP23		_	_	1,2-1,3	7,0	1-1,2	6,5-7
	-	-	1,2-1,3	6,5	1-1,2	6,0-7
	-	-	1,2	6-7	1,2
	-	-	1,2-1,3	5,5-6,0	1,2	5,0-5,5
	-	-	-	-		5,5
	-	-	-	-		5,5

Примечание. Некоторые двигатели малой мощности с высотой оси враще­ния h£80 мм выполняются с уменьшенной кратностью начального пускового тока.

Для короткозамкнутых двигателей регламентируются значения всех перечисленных выше моментов и тока, а для двигателей с фазными роторами – только значения максимальных моментов, т. е. перегрузочная способность двигателей.

В табл. 10.1 приведены допустимые относительные значения моментов и начального пускового тока двигателей с короткозамкнутыми роторами серии 4А. Спроектированная заново асинхронная машина на базе серии 4А должна иметь пусковые характеристики, удовлетворя­ющие этим требованиям. В технических условиях или в заданиях на про­ектирование специальных асинхронных двигателей могут быть поставле­ны более жесткие требования к этим величинам.

В практике расчетов часто ограничиваются определением только двух точек характеристик: начального пускового и максимального моментов и начального пускового тока. Такой расчет дает лишь приближенные сведения о пусковых свойствах двигателя и может привести к погрешно­сти при определении перегрузочной способности из-за неточности опре­деления критического скольжения. Поэтому при проектировании целесообразно рассчитывать полные пусковые характеристики, т.е. зависи­мости М_* = f(s) и I_* = f(s) для всего диапазона изменения скольже­ний от s = 1 до значения, соответствующего режиму, близкому к номи­нальному.

Расчет пусковых характеристик затруднен необходимостью учета изменений параметров, вызванных эффектом вытеснения тока и насыщением от полей рассеяния, так как при больших скольжениях токи в об­мотках статора и ротора короткозамкнутых двигателей могут превы­шать свое минимальное значение в 7—7,5 раза (табл. 10.1).

В то же время при больших токах увеличивается падение напряжения на сопротивлении обмотки статора, что вызывает уменьшение ЭДС и снижение основного потока. Для учета этих факторов необходимо применение ЭВМ. При ручном счете используют следующий упрощенный метод.

Учитывая, что индуктивное сопротивление взаимной индукции x₁₂ с уменьшением насыщения магнитопровода увеличивается, в расчете пусковых характеристик для скольжений s ³ 0,1 ¸ 0,15 оно может быть принято равным

(10.40)

Не внося большой погрешности, в расчетных формулах пусковых ре­жимов пренебрегают сопротивлением r₁₂. Это оправдано при токах, заметно превышающих номинальный, так как электрические потери в обмотках, возрастающие пропорционально квадрату тока, многократно превышают потери в стали, для учета которых в схему замещения введен параметр r₁₂.

При этих допущениях коэффициент

(10.41)

и сопротивление правой ветви Г-образной схемы замещения (см. рис.9.1)

(10.42)

где для упрощения расчетных формул в отличие от обозначений в расче­те рабочих характеристик принято:

(10.43)

Ток в обмотке ротора

(10.44)

Сопротивление всей схемы замещения для пусковых режимов

(10.45)

Из (10.42) - (10.45) следует

(10.46)

Характеризующие пусковые данные машины кратность тока и момента при заданном s имеют вид

(10.47)

Полученные выражения (10.44) — (10.47) дают возможность рассчитать токи и моменты во всем диапазоне изменения скольжения от s = 1 до s = 0,1.