Определение коэффициентов интенсивности напряжений

В основе применения принципов механики разрушения лежит коэф­фициент интенсивности напряжений. Важную роль при решении задачи о разрушении в рамках линейной механики разрушения играет установ­ление зависимости коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины для данного конструктивного элемента. Для определения ко­эффициентов интенсивности напряжений применяют аналитические, численные и экспериментальные методы.

Для упрощения задачи, связанной с определенном коэффициента интенсивности напряжений, можно испольаовать принцип Бюкнера, по зволяющий заменить более сложную задачу определения коэффициента интенсивности напряжений, когда нагрузка приложена в произвольных точках элемента конструкции, менее сложнсй задаче, когда нагрузка приложена к берегам трещены.

Пусть прямоугольная пластина с трещиной растягивается силами ρ , приложенными в точках А₁ у и А₂ (рас. 5,а). Для определения коэффициента интенсивности напряжений сначала рассмотрим эту же пластину баз трещины. Затем определим распределение напряжений Ϭ_y в сечении, где была трещина (в данном случае при у = О ,

/X/<a), теоретически или экспериментально (рас. 5,б), прило­жим напряжение- Ϭ_y к берегам трещины и найдем коэффициент интен­сивности напряжений (рис. 5,в). Этот коэффициент будет такой же, как и в исходное задаче. В этом и заключается принцип Бюкнера.

Рис.5

а) б) в)

Большой интерес представляют формулы, дающие зависимость КИН от произвольной (конечной) нагрузки, приложенной к берегам трещи­ны. Рассмотрим бесконечную пластинку (рис. 6), на берега трещин которой действует нормальная нагрузка р(х) , симметрично распре­деленная относительно оси X . Сле­довательно Ϭ_y =Р(х) при У = О и /х/<a. Формула для определения коэффициента интенсивности напряже­ний в этом случае имеет вид

Рис.6

(7)

Формулу (7) можно переписати в болем общей форме

где Н (а,х) - весовая функция. В данном случае

Весовая функция Н(а,X) зависит от формы конструктивного элемента и вида трещины.

Пусть внутренняя круглая трещина расположена в плоскости Z=0 изотропного тела, радиус трещины ɑ . Поверхности трещшы Z= ± 0 0≤ r< ɑ подвергаются действию нормальной нагрузки (сишетричной относительно плоскости z = 0 ) Ϭ_z = -Р(х). Тогда

В случае, когда р (г)=р=сопst, из этой формулы получаем

Коэффициент интенсивности напряжений в случае, когда трещина конечной длины в бесконечной пластинке (рис. 7), определяют по формуле

Коэффициент интенсивности напряжений в случае, когда трещина в пластинке конечной ширины, но бесконечной длины (рио. 8), рассчи­тывают по уравнению

Для определения функции F(λ) можно пользоваться приближен­ной формулой

Более точное выражение функции имеет вид

(8)

Рис.7 Рис.8

При растяжении длинной полосы с эксцентрично расположенной внутренней трещиной (рис. 9,а) коэффициент интенсивности напряже­ний находят по формулам:

рис 9.

Наибольший практический интерес представляет F_1A, так как F_1A≥F_1B (рис. 9,6). Для определения F_1A можно использовать формулы:

При длинной полосе с симметрично расположенными краевыми трещинами (рис. 10) коэффициент интенсивности напряжений рассчитывают по уравнению.

Коэффициент интенсивности напряжений в случае, когда бесконечная пластана содержит круговое отверстие с двумя радиальными трещнами (рис. 11), определяют по форцуле

где значения F(λ) для некоторых λ приведены в табл. 1.

Рис.10,11

Коэффициент интенсивности напряже­ний в случае, когда прямоугольная плас­тинка содержит круглое отверстие с двумя радиальными трещинами (рис, 12), R/b=0.25; h/2b=2,00,находят по выражение

где

Рис.12.

В табл. 2 приведены значения F(λ) для некоторых λ

Для других типов конструктивных элементов с трещинами формулы для определения коэффициента интенсивности напряжений приводятся в монографиях и справочниках по механике разрушения.

1.6Экспериментальное определение К_с и К_1с

В условие разрушения Ирвина (см. подраздел 1.4) входят К_1С и К_с , которые являются постоянными материала и определяются экс­периментально. Поэтому следует рассмотреть вопрос об определении этих величин.

Напряжения, действующие у вершины трещины, превосходят предел текучести материала до того, как достигается критическое состоя­ние вследствие образования пластической зоны, в которой теряют силу законы упругости и наблюдается упрочнение материала. Наличие зоны, в которой материал пластически течет, приводит при оценке момента разрушения к образованию ошибки. Влиянием пластического течения в ряде случаев можно пренебречь или внести поправку на образование пластической зоны, если размеры этой зоны существенно малы по сравнению с длиной трещины и толщиной материала.

Размер пластической зоны у вершины трещины можно определить

из второй формулы (4), полагая

Тогда

(9)

В момент разрушения К₁ = К_с и предельный размер пластичес­кой зоны :

(10)

где Ϭ_0,2-условный предел текучести материала.

По формуле (10) можно определить предельный размер пластической зоны в случае плоского напряженного состояния. Для случая плоской деформации предельный размер пласттеской зоны

На рис. 13,а показано расположение пластической зоны у кончика трещины, а на рис. 13,6 - размеры и форма пластической зоны в случае нормального отрыва. Рис.13

(11)

Для учета влияния пластической зоны в линейной механике разрушения Дж. Ирвин предложил считать, что вершина трещины лежит на расстоянии r_у от границы фактического разделения материала.

Измеренные значения К_с существенно отличаются при изменинии толщины образцов, и это отличие связано с характером разрушения, определяемым то внешнему виду поверхности излома. Например, поверхность разрушения плоского образца с трещиной состоит из двух частей. Края такого образца содержат губы среза, тогда как средняя часть разрушается хрупко по плоской поверхности, перпен­дикулярной оси приложения нагрузки (рис. 14,а). С увеличением толщины полосы t возрастает доля хрупкого разрушения и уменьшается параметр К с (рис. 14,6). По мере увеличения толщины полосы состояние материала все болем приближает к состаянию, определяющему

Рис. 14

прямой вид излома, а значение параметра К_с приближается к предельному минимальному значению К_1с (рис. 14,б), которое по­лагается константой материала. Если полоса с трещиной имеет излом в виде среза, вблизи трещины сохраняется условие плоского напряжен­ного состояния. Условию плоского напряженного состояния соответ­ствует r_{y /}/ t ≥ 1, где r_y определяется формулой (9). Это ус­ловие характеризуется распространением пластической зоны на всю толщину образца, наличием плоскости излома под углом 45° к направлению действующих нагрузок и отсутствием элементов хрупкого изло­ма. При этом достигается наибольшая прочность материала.

Условие плоской деформации имеет вид r_y / t ≤ 1/5П и обычно выполняется для деталей и образцов крупных сечений. Для таких об­разцов характерны полностью хрупкий излом без губ среза и наименьшая прочность.

Коэффициент К_с можно использовать для расчетных оценок про­чности конструкций лишь тогда, когда образцы из исследуемого мате­риала имеют толщину, равную толщине элементов конструкций.

Для определения параметров вязкости разрушения используют 13 типов образцов. Значения коэффициента интенсивности напряжений К₁ определяются величиной нагрузки и некоторой функцией податливости, которая зависят от размеров образца и длины трещины я может быть получена теоретически или экспериментально.

Для определения К_с и К_1с можно, в частности, использовать плоские симметричные образцы со сквозными трещинами. На рис. 15 изображен плоский образец с центральной сквозной трещиной для ис­пытания на растяжение. При определении К_с должно выполняться соотношение 16 < W / t < 45 , где t - толщина образца, а при оп­ределении

К_1С 5 < W / t < 10.

Выражение для определения коэффициента интенсивности напряжений (функция податливо­сти) для образца, изображенного на рис. 15, может быть принято в виде

(12)

Рис.15

Значение К с определяют методом после­довательных приближений. В результате испыта­на образца находят максимальную нагрузку Ртах Длину трещины 2t_с , соответствую­щую этому моменту. Эти значения Р_тах и 2tс подставляют в формулу (12) вместо Р я 2t соответственно и находит Кс в первом приближении, т.е. К_с¹ .Затем, используя это значение К_с¹, вычисли ют поправку на пластическую зону в вершине трещины:

Далее, по формуле (12) определяют К_с во втором приближения, т.е. К _с¹¹ . Для этого в формулу (12) вместо t подставляют t_c + r_y^*1 . Затем находят поправку r_y^*11 по формуле

Подставив в формулу (12) вместо t значение t_c + r_y^*11 , находят К с¹¹¹ и т.д. Операции повторяют, пока не получат постоянное зна­чение к_с . При определении Кс приходится делать три-четыре приближения. При расчете К_1с по формуле (II) поправкой на пластическую зону Г_1у* пренебрегают, так как она незначительна.

Ддя получения достоверных значений вязкости разрушения разме­ры образца должны быть больше определенной величины.

Единица коэффициента интенсивности напряжений - ньютон на метр в степени три вторых (Н/м^3/2), килограмм-сила на миллиметр в степени три вторых (кгс/мм³/²).

Коэффициенты К_с и К_1С , с одной стороны, характеризуют спо­собность материала сопротивляться развитию трещины, а с другой - входят в условия разрушения, устанавливающие то значение коэффициента интенсивности напряжений, при котором наступает быстрый, не­контролируемый рост трещины.