Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
Однією із основних задач диференціального числення є знаходження похідної заданої функції . Різноманітні питання математичного аналізу і його застосувань приводять до оберненої задачі: для даної функції знайти таку функцію , похідна якої рівна , тобто = .
Відтворення функції за відомою її похідною - одна із основних задач інтегрального числення.
Функція називається первісною для функції , на деякому проміжку Х, якщо для усіх значень х Î Х виконується рівність = .
Якщо - первісна для функції , то й функція , де С - довільна стала, також є первісною для функції , оскільки ( )′ = + С ′= + 0 = .
Нехай первісною функції на проміжку Х, крім функції , є функція , тобто = . Розглянемо різницю - . Обчислимо похідну цієї різниці.
( - )′ = - = - = 0.
Отже, згідно з теоремою Лагранжа - = С. Звідси маємо: = + С.
Таким чином, множина первісних функції на проміжку Х, вичерпується функціями виду + С, де - одна із первісних функції .
Означення. Сукупність усіх первісних функції на проміжку Х називається невизначеним інтегралом функції на цьому проміжку і позначається .
Невизначений інтеграл інакше називають інтегралом Ньютона - Лейбніца.
Якщо - одна з первісних функції , то за означенням
= + С.
Знак називається знаком невизначеного інтеграла, - підінтегральною функцією, а - підінтегральним виразом.
Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.
Основні властивості невизначеного інтеграла
1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.
( )′ = + С ′= .
2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.
d( ) = d = d(x).
3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної.
= .
4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо k = const ¹ 0, то
.
Для доведення цієї властивості досить показати, що права чстина рівності є первісною підінтегральної функції:
.
5. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції, тобто
.
Доведення.
.
Таблиця основних інтегралів
Безпосередньо із означення визначеного інтеграла випливають наступні формули, котрі утворюють таблицю основних інтегралів:
1. ,
2. ,
3. ,
4.
5. ,
6. ,
7. ,
8. ,
9. ,
10. ,
11. ,
12. ,
13. ,
14.
Безпосереднє інтегрування
Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці основних інтегралів та їх властивостей називається безпосереднім інтегруванням.
Приклади.
1. .
2. . 3. .
4. .
Метод підстановки
В основі методу підстановки (методу заміни змінної) лежить формула диференціювання складеної функції. Якщо F ′( x) = f(x), хÎ(a, b), то для довільної диференційованої на проміжку (a, b ) функції x= j(t), де j(t) Î(a, b),якщо t Î(a, b ) маємо:
(F(j(t)))′ = F ′( x) j′(t) = f(x) j′(t) = f(j(t)) j′(t).
Таким чином,
,
тобто
.
Приклади.
1. Обчислити інтеграл .
Розв’язування. Покладемо , . Тоді
.
2. Обчислити інтеграл .
Розв’язування. Покладемо . Отже,
.
Інтегрування частинами
Нехай функції і визначені й диференційовані на деякому проміжку Х. Тоді
.
Звідси маємо
.
Припустимо, що інтеграл існує. Тоді
.
Оскільки , то
. (1)
Довільну сталу С включає в себе інтеграл .
Формула (1) називається формулою інтегрування частинами.
За цією формулою обчислюються , зокрема інтеграли виду
1) , , ,
де - многочлен n-ного степеня відносно х, . Тут слід прийняти .
2) , , , ,
Тут також - многочлен n-ного степеня відносно х. У цих інтегралах .
Приклади.
.
.
ЛЕКЦІЯ 24
34. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів.
35. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.
1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів
Розглянемо дробово-раціональну функцію , де -
многочлен n-го степеня, а - многочлен k-го степеня. Якщо n³ k, то, виконавши ділення, одержимо
,
де r < k. Наприклад,
.
У вищій алгебрі доводиться, що кожний многочлен можна подати у вигляді добутку
, (1)
де А -коефіцієнт при старшому членові многочлена , а - корені рівняння = 0. Множники називаються елементарними. Якщо серед них є однакові, то групуючи їх, одержимо
, (2)
де . Числа називаються кратностями коренів . Серед коренів можуть бути й комплексні. Якщо - r-кратний комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то цей многочлен має також спряжений з r-кратний корінь . Отже, якщо формула (2) містить множник , де , то вона також містить і множник . Перемноживши ці множники, одержимо
= ,
де , , p, q - дійсні числа.
Ураховуючи всі комплексні корені многочлена , формулу (2) можна записати у вигляді
,
де - дійсні числа.
Дріб , де r < n називається правильним раціональним дробом.
Теорема. Правильний раціональний дріб , де
можна єдиним чином подати у вигляді суми найпростіших дробів
,
де - дійсні числа.
Подання, про яке йдеться у наведеній теоремі, можна виконати методом невизначених коефіцієнтів, котрий розглянемо на наступному прикладі.
Приклад. Розкласти на найпростіші дроби
.
Розв’язування. Згідно з наведеною теоремою маємо:
,
де - поки що невідомі числа.
Зведемо праву частину останньої рівності до спільного знаменника.
Два многочлени тотожно рівні між собою тоді й тільки тоді, коли рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях х. Тому для визначення коефіцієнтів складемо систему
Розв’язавши цю систему, одержимо:
.
Отже,
.