Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

Однією із основних задач диференціального числення є знаходження похідної Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru заданої функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Різноманітні питання математичного аналізу і його застосувань приводять до оберненої задачі: для даної функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru знайти таку функцію Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , похідна якої рівна Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , тобто Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Відтворення функції за відомою її похідною - одна із основних задач інтегрального числення.

Функція Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru називається первісною для функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , на деякому проміжку Х, якщо для усіх значень х Î Х виконується рівність Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Якщо Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - первісна для функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , то й функція Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , де С - довільна стала, також є первісною для функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , оскільки ( Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru )′ = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru + С ′= Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru + 0 = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Нехай первісною функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru на проміжку Х, крім функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , є функція Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , тобто Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Розглянемо різницю Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Обчислимо похідну цієї різниці.

( Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru )′ = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = 0.

Отже, згідно з теоремою Лагранжа Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = С. Звідси маємо: Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru + С.

Таким чином, множина первісних функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru на проміжку Х, вичерпується функціями виду Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru + С, де Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - одна із первісних функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Означення. Сукупність усіх первісних функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru на проміжку Х називається невизначеним інтегралом функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru на цьому проміжку і позначається Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Невизначений інтеграл інакше називають інтегралом Ньютона - Лейбніца.

Якщо Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - одна з первісних функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , то за означенням

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru + С.

Знак Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru називається знаком невизначеного інтеграла, Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - підінтегральною функцією, а Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - підінтегральним виразом.

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

Основні властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ( Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru )′ = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru + С ′= Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru d( Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ) = d Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru d(x).

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної постійної.

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла, тобто, якщо k = const ¹ 0, то

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Для доведення цієї властивості досить показати, що права чстина рівності є первісною підінтегральної функції:

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

5. Невизначений інтеграл від суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) невизначених інтегралів від кожної функції, тобто

.

Доведення.

.

Таблиця основних інтегралів

Безпосередньо із означення визначеного інтеграла випливають наступні формули, котрі утворюють таблицю основних інтегралів:

1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

2. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

3. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

4. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

5. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

6. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

7. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

8. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

9. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

10. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

11. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

12. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

13. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

14. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

Безпосереднє інтегрування

Обчислення інтегралів за допомогою безпосереднього використання таблиці основних інтегралів та їх властивостей називається безпосереднім інтегруванням.

Приклади.

1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

2. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . 3. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

4. .

Метод підстановки

В основі методу підстановки (методу заміни змінної) лежить формула диференціювання складеної функції. Якщо F ′( x) = f(x), хÎ(a, b), то для довільної диференційованої на проміжку (a, b ) функції x= j(t), де j(t) Î(a, b),якщо t Î(a, b ) маємо:

(F(j(t)))′ = F ′( x) j′(t) = f(x) j′(t) = f(j(t)) j′(t).

Таким чином,

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

тобто

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

.

Приклади.

1. Обчислити інтеграл Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Розв’язування. Покладемо Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Тоді

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

2. Обчислити інтеграл Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Розв’язування. Покладемо Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Отже,

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Інтегрування частинами

Нехай функції Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru і Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru визначені й диференційовані на деякому проміжку Х. Тоді

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Звідси маємо

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Припустимо, що інтеграл Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru існує. Тоді

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Оскільки Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , то

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . (1)

Довільну сталу С включає в себе інтеграл Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Формула (1) називається формулою інтегрування частинами.

За цією формулою обчислюються , зокрема інтеграли виду

1) Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

де Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - многочлен n-ного степеня відносно х, Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Тут слід прийняти Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

2) Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

Тут також Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - многочлен n-ного степеня відносно х. У цих інтегралах Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Приклади.

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

ЛЕКЦІЯ 24

34. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів.

35. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів

Розглянемо дробово-раціональну функцію Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , де Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru -

многочлен n-го степеня, а Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - многочлен k-го степеня. Якщо n³ k, то, виконавши ділення, одержимо

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

де r < k. Наприклад,

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

У вищій алгебрі доводиться, що кожний многочлен можна подати у вигляді добутку

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , (1)

де А -коефіцієнт при старшому членові многочлена Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , а Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - корені рівняння Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = 0. Множники Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru називаються елементарними. Якщо серед них є однакові, то групуючи їх, одержимо

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , (2)

де Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Числа Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru називаються кратностями коренів Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Серед коренів Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru можуть бути й комплексні. Якщо Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - r-кратний комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то цей многочлен має також спряжений з Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru r-кратний корінь Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Отже, якщо формула (2) містить множник Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , де Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , то вона також містить і множник Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru . Перемноживши ці множники, одержимо

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru = Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

де Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , p, q - дійсні числа.

Ураховуючи всі комплексні корені многочлена Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , формулу (2) можна записати у вигляді

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

де Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - дійсні числа.

Дріб Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , де r < n називається правильним раціональним дробом.

Теорема. Правильний раціональний дріб Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru , де

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

можна єдиним чином подати у вигляді суми найпростіших дробів

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

де Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - дійсні числа.

Подання, про яке йдеться у наведеній теоремі, можна виконати методом невизначених коефіцієнтів, котрий розглянемо на наступному прикладі.

Приклад. Розкласти на найпростіші дроби

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Розв’язування. Згідно з наведеною теоремою маємо:

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru ,

де Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru - поки що невідомі числа.

Зведемо праву частину останньої рівності до спільного знаменника.

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

Два многочлени тотожно рівні між собою тоді й тільки тоді, коли рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях х. Тому для визначення коефіцієнтів Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru складемо систему

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru

Розв’язавши цю систему, одержимо:

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Отже,

Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла - student2.ru .

Наши рекомендации