Расчет устойчивости основания против сдвига по круглоцилиндрическим поверхностям скольжения

Помимо потери устойчивости самой подпорной стенки при большой нагрузке может произойти потеря устойчивости её основания. В практике проектирования широко применяется проверка возможности потери устойчивости основания посредством сдвига по круглоцилиндрической поверхности скольжения.

Проверка выполняется по трём поверхностям скольжения с тремя центрами вращения: С₁, С₂, С₃.

Определяются площади отсеков, в данной работе рекомендуется выделить пять отсеков (рис.5.1. – 5.3.). Определить площади А_i и их вес F_i= γ_oА_i. Дуги отсеков разрешается заменить хордами.

Рисунок 5.1. Схема расчёта устойчивости стенки для центра в точке С₁

Рисунок 5.2. Схема расчёта устойчивости стенки для центра в точке С₂

Рисунок 5.3. Схема расчёта устойчивости стенки для центра в точке С₃

Устойчивость основания против сдвига по круглоцилиндрической поверхности оценивается величиной коэффициента запаса устойчивости

k = М_уд / М_сдв, (5.1)

где М_уд, М_сдв – моменты удерживающих и сдвигающих сил относительно центра вращения.

Cила F_i может быть разложена:

N_i=F_iCosα_i Q_i=F_iSinα_i, (5.2)

где α_i – абсолютная величина угла между вертикалью и радиусом, проведенным в центр дуги скольжения отсека.

Но для первого отсека необходимо так же учесть собственный вес стенки:

N₁=( F₁ + G)Cosα₁ Q₁=(F₁ + G) Sinα₁. (5.3)

Сила Q_i в левом отсеке стремится сдвинуть, а в правом такая же сила препятствует сдвигу. Препятствует сдвигу и сила трения на поверхность скольжения всех отсеков, определяемые по закону Кулона:

Т_i = N_itgφ_o + c_ol_i, (5.4)

где l_i – длина дуги линии скольжения i-го отсека.

Таким образом, моменты удерживающих и сдвигающих сил относительно мгновенного центра вращения будут

М_уд = r (Q₃ + Q₄ + Q₅ + ΣT_i) (5.5)

М_сдв = E_al_a + r (Q₁ + Q₂) (5.6)

где l_a – плечо силы Е_а относительно соответствующего мгновенного центра вращения (рис.5.1-5.3).

Условие устойчивости основания подпорной стенки против сдвига по круглоцилиндрической поверхности имеет вид:

k_min ≥ γ_n /m, (5.7)

где k_min = min(М_уд /М_сдв) (5.8)

– минимальное значение коэффициента запаса устойчивости, определенное по координатам центра вращения х_с, z_с, γ_n, m – коэффициенты, что и в расчёте стенки на опрокидывание.

Расчёт для центра в точке С₁:

А_ст = 0,5*6,2 + 0,5*1,994*6,2 + 0,5*0,445*1,5 = 10,630 м²;

А₁ = 2,656 м², α₁ = 39̊ ; F₁ = 2,656*18,6 + 10,313*23 = 286,6 кН; l₁ = 3,3 м;

А₂ = 9,881 м², α₂ = 12̊ ; F₂ = 9,881*18,6 = 183,786 кН; l₂ = 2,64 м;

А₃ = 9,881 м², α₃ = 12̊ ; F₃ = 9,881*18,6 = 183,786 кН; l₃ = 2,64 м;

А₄ = 6,256 м², α₄ = 39̊ ; F₄ = 6,256*18,6 = 116,361 кН; l₄ = 3,3 м;

А₅ = 0,620 м², α₅ = 61̊ ; F₅ = 0,620*18,6 = 11,532 кН; l₅ = 1,71 м;

N₁=286,6*Cos39 = 222,73 кН Q₁=286,6*Sin39=180,363 кН;

N₂=183,786*Cos12 = 179,77 кН Q₂=183,786*Sin12 = 38,211 кН;

N₃=183,786*Cos12 = 179,77 кН Q₃=183,786*Sin12 = 38,211 кН;

N₄=116,361*Cos39 = 90,429 кН Q₄=116,361*Sin39= 73,228 кН;

N₅=11,532*Cos61 = 5,391 кН Q₅=11,532*Sin61= 10,086 кН;

Т₁ = 222,73*tg28 + 20*3,3 = 184,428 кН;

Т₂ = 179,77*tg28 + 20*2,64 = 148,385 кН;

Т₃ = 179,77*tg28 + 20*2,64 = 148,385 кН;

Т₄ = 116,361*tg28 + 20*3,3 = 127,87 кН;

Т₅ = 5,391*tg28 + 20*1,71 = 37,066 кН.

М_уд=r(Q₃+Q₄+Q₅+ΣT_i)=6,42(38,211+73,228+10,086+184,428+2*148,385+127,87+37,066)= 4928,37 кН*м

М_сдв = E_al_a + r (Q₁ + Q₂) =102,665*1,652+6,42(180,363+38,211)=1572,848 кН*м

k₁ = М_уд / М_сдв =4928,37/1572,848 = 3,133.

Расчёт для центра в центре С₂:

А₁ = 1,819 м², α₁ = 29̊ ; F₁ = 1,819*18,6 + 10,313*23 = 271,032 кН; l₁ = 2,94 м;

А₂ = 8,057 м², α₂ = 9̊ ; F₂ = 8,057*18,6 = 149,86 кН; l₂ = 2,61 м;

А₃ = 8,057 м², α₃ = 9̊ ; F₃ = 8,057*18,6 = 149,86 кН; l₃ = 2,61 м;

А₄ = 5,732 м², α₄ = 29̊ ; F₄ = 5,732*18,6 = 106,615 кН; l₄ = 2,94 м;

А₅ = 1,117 м², α₅ = 40̊ ; F₅ = 1,117*18,6 = 20,776 кН; l₅ = 2,11 м;

N₁=271,032*Cos29 = 237,05 кН Q₁=271,032*Sin29=131,4 кН;

N₂=149,86*Cos12 = 143,651 кН Q₂=149,86*Sin12 = 30,534 кН;

N₃=149,86*Cos12 = 143,651 кН Q₃=149,86*Sin12 = 30,534 кН;

N₄=106,615 *Cos29 = 93,248 кН Q₄=106,615 *Sin29= 51,688 кН;

N₅=20,776*Cos40 = 15,915 кН Q₅=20,776*Sin40= 13,355 кН;

Т₁ = 237,05*tg28 + 20*2,94 = 184,842 кН;

Т₂ = 143,651*tg28 + 20*2,61 = 128, 581 кН;

Т₃ = 143,651*tg28 + 20*2,61 = 128, 581 кН; ΣT_i = 601,048 кН

Т₄ = 93,248*tg28 + 20*2,94 = 108,381 кН;

Т₅ = 15,915*tg28 + 20*2,11 = 50,663 кН.

М_уд=r(Q₃+Q₄+Q₅+ΣT_i)=8,23(30,534+51,688+13,355+601,048)= 5733,224 кН*м

М_сдв = E_al_a + r (Q₁ + Q₂) =102,665*4,232 +8,23(131,4+30,534)=1544,985 кН*м

k₂ = М_уд / М_сдв =5733,224/1544,985= 3,711.

Расчёт для центра в точке С₃:

А₁ = 1,355 м², α₁ = 22̊ ; F₁ = 1,355*18,6 + 10,313*23 = 262,402 кН; l₁ = 2,79 м;

А₂ = 7,002 м², α₂ = 7̊ ; F₂ = 7,002*18,6 = 130,237 кН; l₂ = 2,6 м;

А₃ = 7,002 м², α₃ = 7̊ ; F₃ = 7,002*18,6 = 130,237 кН; l₃ = 2,6 м;

А₄ = 5,227 м², α₄ = 22̊ ; F₄ = 5,227*18,6 = 97,222 кН; l₄ = 2,79 м;

А₅ = 1,501 м², α₅ = 37̊ ; F₅ = 1,501*18,6 = 27,919 кН; l₅ = 2,5 м;

N₁=262,402*Cos22 = 243,295 кН Q₁=262,402*Sin22 = 98,298 кН;

N₂=130,237*Cos7 = 129,266 кН Q₂=130,237*Sin7 = 15,872 кН;

N₃=130,237*Cos7 = 129,266 кН Q₃=130,237*Sin7 = 15,872 кН;

N₄=97,222*Cos22 = 90,142 кН Q₄=97,222*Sin22= 36,42 кН;

N₅=27,919*Cos37 = 22,297 кН Q₅=27,919*Sin37= 16,802 кН;

Т₁ = 243,295*tg28 + 20*2,79 = 185,162 кН;

Т₂ = 129,266*tg28 + 20*2,6 = 120,732 кН;

Т₃ = 129,266*tg28 + 20*2,6 = 120,732 кН; ΣT_i = 592,211

Т₄ = 90,142*tg28 + 20*2,79 = 103,729 кН;

Т₅ = 22,297*tg28 + 20*2,5 = 61,856 кН.

М_уд=r(Q₃+Q₄+Q₅+ΣT_i)=10,36(15,872+36,42+16,802+592,211)= 6851,12 кН*м

М_сдв = E_al_a + r (Q₁ + Q₂) =102,665*6,812 +10,36(98,298+15,872)=1882,155 кН*м

k₃ = М_уд / М_сдв =6851,12/1882,155 = 3,64.

k₁ = 3,133; k₂ = 3,711; k₃ = 3,64.

γ_n/m =1,1/0,8 = 1,375;

k_min ≥ γ_n/m;

k_min = k₁ = 3,133;

3,133 ≥ 1,375.

Вывод: устойчивость стенки гарантирована всеми произведенными расчетами. Опорная стенка абсолютно устойчива.