Механічний та геометричний зміст похідної

Механічний зміст похідної випливає із задачі про миттєву швидкість, а саме: похідна від пройденого шляху по часу дорівнює миттєвій швидкості в момент часу , тобто

.

Геометричний зміст похідної розкрито у задачі про дотичну: похідна , якщо вона існує, дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції в точці з координатами , .

Односторонні похідні

Використовуючи означення правої і лівої границі, введемо поняття правої і лівої похідної функції в точці .

Правою (лівою) похідною функції в точці називається права (ліва) границя відношення при (за умови, що ця границя існує).

Права похідна позначається так: , а ліва .

Якщо функція в точці має похідну, то вона має як праву, так і ліву похідну і ці похідні рівні між собою. Проте не в кожній точці , у якій існують права і ліва похідні, існує похідна функції. Так, наприклад, функція в точці має праву похідну

і ліву , але похідної в точці функція не має, оскільки .

Нескінченні похідні

Якщо відношення при прямує до або , то це невласне число називається нескінченою похідною.

Геометричний зміст похідної як кутового коефіцієнта дотичної розповсюджується і на цей випадок. Тут дотична паралельна вісі (рис. 17, 18, 19).

Аналогічно установлюється поняття односторонньої нескінченої похідної. У цьому випадку наявність в точці різних за знаком односторонніх нескінченних похідних забезпечує існування єдиної вертикальної дотичної.

ЛЕКЦІЯ 16

10. Диференційовність функції.

11. Похідні елементарних функцій.

12. Похідна оберненої функції.

Диференційовність функції

Функція називається диференційованою в точці , якщо її приріст у цій точці можна подати у вигляді

, (1)

де - деяке число, не залежне від , а - нескінчено мала функція при , тобто .

Зв'язок між диференційованістю функції в точці і існуванням похідної даної функції в цій точці установлюється наступною теоремою.

Теорема. Для того, щоб функція функції була диференційована в точці , необхідно і достатньо, щоб вона мала в цій точці скінчену похідну.

Доведення.Необхідність. Нехай функція диференційована в точці , тобто її приріст можна подати у вигляді (1). Тоді

.

Звідси випливає, що в точці існує похідна .

Достатність. Нехай функція має в точці похідну . За означенням похідної маємо . За властивістю границі є нескінченно малою функцією при . Отже, , тобто , де - деяке число, а .

Зауваження. Вираз не визначений при , а отже, за цієї умови не визначений вираз (1). Щоб позбутися цієї невизначеності достатньо покласти .

Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції розкривається в наступній теоремі.

Теорема . Якщо функція диференційована в точці , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Так як функція диференційована в точці , то її приріст в цій точці можна подати у вигляді .

Тоді

.

Отже, в точці , де функція диференційована, нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, а це означає, що в точці функція неперервна.

Наслідок. Якщо функція в кожній точці деякого проміжку має скінчену похідну, то на цьому проміжку вона неперервна.

Зауваження. Неперервність функції в даній точці не є достатньою умовою її диференційованості. Наприклад, функція неперервна в точці , але в цій точці, як було показано в пункті 1.2. вона не диференційована.