Пример решения задачи. Консольная балка нагружена силами, создающими изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, и сжимающей силой

Задача

Консольная балка нагружена силами, создающими изгиб в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, и сжимающей силой, приложенной к свободному концу. Материал балки Ст3 с допускаемым напряжением [σ]=160 МПа.

Требуется:

Определить величину допускаемой силы [F] для двух случаев поперечного сечения: прямоугольного с отношением сторон при и круглого с диаметром .

Решение

Для прямоугольного сечения

1. Определим положение опасного сечения на балке. Для этого построим эпюры изгибающих моментов М_Х, М_Y и продольной силы N.

Из эпюр изгибающих моментов видно, что предположительно опасными могут быть два сечения: «С» и «D». Сечение «С» испытывает прямой поперечный изгиб со сжатием, а сечение «D» – косой поперечный изгиб со сжатием. Какое сечение более опасно в данном случае мы сможем сказать только после определения величин напряжений в опасных точках каждого сечения.

2. Определим положение опасных точек в сечениях «С» и «D». Для этого в плоскости каждого сечения отложим ординаты внутренних изгибающих моментов и установим положение силовой линии. В сечении «С» силовая линия совпадает с осью «у», а ось «х» является нейтральной от действия момента М_Х. Опасными являются точки верней и нижней стороны сечения. Нижние волокна испытывают напряжение сжатия (на это указывает ордината момента в соответствии с эпюрой моментов), поэтому в области нижних волокон мы ставим знак «–», а в области верхних «+», т.к. они испытывают напряжение растяжения. Добавляя к каждому знаку напряжений от действия изгибающего момента знак «–» от действия сжимающей продольной силы, видим, что опасными являются нижние волокна сечения.

В сечении «D» силовая линия определяется по положению ординаты суммарного момента и пересекает II и IV четверти поперечного сечения.

Опасными от изгиба будут угловые точки «К» и «L». Положение ординаты суммарного изгибающего момента указывает на то, что точка «L» испытывает напряжение сжатия и рядом с ней мы ставим два знака «–» от действия М_Х и М_Y, а рядом с точкой «К» два знака «+», т.к. в ней возникают напряжения растяжения. Добавляя к каждому знаку напряжений от действия изгибающих моментов знак «–» от действия сжимающей продольной силы, видим, что опаснее будет точка «L».

3. Определим величины напряжений от изгибающих моментов в опасных точках сечений «С» и «D».

Для сечения «С»:

,

где М_Х=3F, а . Заменяя h на 2b, получим: , тогда:

.

Для сечения «D»:

,

где М_Х=F, М_Y=F, . Тогда

.

Из сравнения максимальных напряжений в опасном волокне сечения «С» и в опасной точке сечения «D» очевидно, что сечения равноопасны. Определим величину допускаемой силы из условия прочности по составляющей от изгибающего момента, беря ее по модулю:

Подставив значения и кПа, получим:

.

Проведем проверку прочности в опасных точках сечения «С» и «D» с учетом составляющей напряжения от действия продольной силы .

Процент перегруза составляет:

– допускаемого процента перегруза.

Для круглого сечения

1. Определим положение опасного сечения на балке. Этот пункт уже выполнен для данной балки в случае прямоугольного сечения. Для круглого профиля это также сечения «С» и «D». Только в отличие от прямоугольного в сечении «D» возникает прямой пространственный изгиб со сжатием.

2. Определим положение опасных точек в сечении «С» и «D».

В сечении «С» силовая линия совпадает с осью «у», нейтральная – с осью «х».

Опасными являются точки «G» и «P» на пересечении силовой линии с контуром круглого сечения, находящиеся на максимальном расстоянии от нейтральной линии. Нижняя точка «P» испытывает напряжение сжатия и около нее мы поставим знак «–» (объяснение аналогичное, что и для прямоугольного профиля). Верхняя точка «G», соответственно, попала в область растяжения и около нее мы поставим знак «+». Добавляя знак «–» от напряжений, возникающих под действием сжимающей продольной силы, получаем максимальное по модулю напряжение в точке «P».

Для определения опасной точки в сечении «D» необходимо определить положение силовой линии по положению ординаты суммарного момента. Для этого ординаты внутренних моментов М_Х и М_Y откладываем в ту же сторону, что и на эпюрах соответствующих моментов. В силу равенства моментов М_Х и М_Y ордината суммарного момента, а значит, и силовая линия, пройдет под углом в 45˚ через II и IV четверти поперечного сечения.

Опасными от изгиба будут точки «R» и «H» – точки пересечения силовой линии с контуром круга. Нейтральная линия пройдет перпендикулярно силовой, разделив плоскость сечения на области растяжения (в нее попала точка «R») и сжатия (в нее попала точка «H»). Соответственно, около точки «R» поставим знак «+», а около точки «H» – знак «–». Добавляя к каждой точке по знаку «–» нормального напряжения от действия сжимающей продольной силы, делаем вывод о том, что опасной точкой сечения «D» является точка «H».

3. Определим напряжения в опасных точках сечений «С» и «D», чтобы выявить, какая из них опаснее. При этом определим в этих точках только составляющую напряжения от изгиба, отбросив слагаемое от действия продольной силы.

, где М_Х=3F, .

Подставив эти выражения в формулу для напряжения, получим:

.

, где , М_Х=F, M_Y=F, т.е. тогда , а

.

Сравнивая напряжения в точках «Р» и «Н», приходим к выводу, что самой опасной точкой на балке круглого сечения является точка «Р», из условия прочности в которой определим величину допускаемой нагрузки:

кН.

Определим напряжение в опасной точке «Р» с учетом напряжения от действия продольной силы :

.

Процент перегруза составляет:

допускаемого перегруза.

Задача решена.