Расчёт прочности зубьев цилиндрических передач по контактным напряжениям

Расчёт на прочность цилиндрических передач стандартизован ГОСТ 21354-75. В курсе ДМ изучают основы такого расчёта. При этом вводят некоторые упрощения, мало влияющие на результаты расчётов для большинства случаев практики.

Контактные напряжения возникают в месте соприкосновения двух деталей, когда размеры площадки касания малы по сравнению с размерами деталей (сжатие шаров, цилиндров и т.п.).

Рассмотрим два цилиндра, которые сжимаются удельной нагрузкой q. До приложения нагрузки цилиндры соприкасались по линии. Под нагрузкой q линейный контакт переходит в контакт по узкой площадке. При этом точки максимальных контактных напряжений s_Н располагаются на продольной оси симметрии контактной площадки. Величину s_Н вычисляют по формуле Герца:

где: s_Н – контактные напряжения; основоположником теории контактных напряжений является H. Yerz (1881 г.). В его честь приписывают нормальным напряжениям индекс «Н», q – удельная расчётная нагрузка; Е_пр - приведенный модуль упругости; m - коэффициент Пуассона; r_пр –приведенный радиус кривизны.

Удельная расчётная нагрузка q определяется для зубчатой передачи следующей формулой:

Здесь нормальная сила равна

Суммарная длина контактных линий

Тогда

Рис. 5.10. Контактные напряжения зубчатых колес

Обозначим .

w_t – удельная расчётная окружная сила.

Тогда расчётная нагрузка q равна

где: e_a - торцовый коэффициент перекрытия; Кe - коэффициент, учитывающий периодическое изменение длины контактных линий.

Рис. 5.10. Удельная расчётная нагрузка зубчатых колес

Для распространенных на практике зацеплений величина Кe = 0,9…1,0.

Приведенный модуль упругости Е_пр:

где: Е₁, Е₂ – модули упругости материалов обоих колёс.

Приведенный радиус кривизны r_пр:

где: R₁, R₂ - радиусы кривизны соприкасающихся тел в точках контакта. Знак «+» принимают, когда соприкасающиеся поверхности выпуклые, знак «-« принимают, когда поверхность одного соприкасающегося тела вогнутая.

Исследованиями установлено, что наименьшей контактной выносливостью обладает околополюсная зона рабочей поверхности зубьев. Поэтому расчёт sН принято выполнять в полюсе зацепления (П), где имеет место однопарное зацепление, см. рис. 6.

Контакт зубьев в полюсе П можно рассматривать как контакт двух цилиндров с радиусами r₁ и r₂. При этом для колёс контактные напряжения s_Н определяются по формуле Герца

в которой удельная расчётная нагрузка q, как известно:

Приведенный радиус кривизны определяем для общего случая цилиндрического косозубого зацепления:

по рис. 6 для прямозубого зацепления

Для косозубого колеса параметры косого зуба определяются через параметры эквивалентного колеса:

Тогда в общем случае косозубой цилиндрической передачи:

; ;

;

где: «+» - для наружного зацепления; «-» - для внутреннего зацепления.

Тогда имеем .

Известно

.

Тогда

.

Обозначим - - коэффициент, учитывающий форму сопряженных поверхностей зубьев;

В передачах без смещения при a = 20 ° Z_H= 1,77cosb; для прямозубой передачи b = 0, Z_H= 1,77;

- коэффициент, учитывающий механические свойства материалов сопряженных зубчатых колёс;

для стальных колёс: Z_M = 275 МПа^1/2;

- коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий;

Для прямозубых колёс Z_e = 1.

При этих обозначениях получаем: , МПа

Значения расчётных контактных напряжений одинаковы для шестерни и колеса. Поэтому расчёт выполняют для того из колёс пары, у которого меньше допускаемое напряжение [s_Н] (чаще это бывает колесо, a не шестерня).

Формулу (1) используют для проверочного расчёта, когда все необходимые размеры и параметры передачи известны. При проектном расчёте необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам передачи: крутящему моменту Т, передаточному числу u или мощности и частоте вращения n₁ и передаточному числу u.

С этой целью формулу (1) решают относительно делительного диаметра d₁ или межосевого расстояния а. При этом в формуле (1) оставляют только те из неизвестных параметров, которые можно определить или выбрать по рекомендациям практики.

Решая формулу (1) относительно а заменяем ,

и вводим коэффициент y_ba, полагая .

Удельная расчётная окружная сила w_Ht равна: .

Выразим окружную силу F_t через мощность N₁ и частоту вращения n₁: :

.

Тогда .

После преобразования получим: .

Обозначим ,

Тогда межосевое расстояние а равно , мм

В формуле (2) N₁ - мощность на валу шестерни, кВт; n₁ - частота вращения шестерни, об/мин (мин^-1); [s_Н] - допускаемое контактное напряжение, МПа.

Коэффициент К_a определяют через Z_H, Z_M, Z_e.

Для прямозубых колёс при Z_H = 1,77, Z_M = 275, Z_e = 1

К_a » 50 МПа^1/3;

для косозубых колёс Кa » 43 МПа^1/3.

Коэффициент динамической нагрузки К_HV при расчёте по фломуле (2) предварительно принимают К_HV = 1,1.

Величину коэффициента К_Hb оценивают по специальным графикам в соответствии с заданной схемой передачи.

Коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния y_ba выбирают по таблицам.

Для многоступенчатых редукторов, у которых нагрузка увеличивается от ступени к ступени, в каждой последующей ступени y_ba берут несколько больше, чем в предыдущей. Это способствует хорошему соотношению размеров колёс по ступеням.

Анализ формул (1) и (2) показывает, что контактные напряжения s_Н зависят от d₁ или а, то есть произведения mz₁ или произведения m(z₁+z₂), но не зависят от модуля m или количества зубьев шестерни z₁ и колеса z₂ в отдельности.

Если s_Н>[s_Н], то можно увеличивать в рекомендованных пределах ширину колеса b, увеличить делительный диаметр d₁ или межосевое расстояние а; можно также изменить материал колёс (взять сталь с большей твёрдостью).

В инженерных расчётах допускается превышение расчётных контактных напряжений s_Н над допускаемыми напряжениями [s_Н] на 5% [s_Н].

Полученное в формуле (2) межосевое расстояние а для нестандартных редукторов округляют по ряду R_a40.

Для стандартных редукторов общего применения, изготавливаемых специализированными заводами, большое значение имеет ограничение числа типоразмера корпусных деталей, когда в одном корпусе можно собрать несколько редукторов. С этой целью установлены стандартные межосевые расстояния а и стандартные значения коэффициента y_ba.