Расчет зубьев цилиндрических передач на прочность при изгибе

Вторым из двух основных критериев работоспособности зуб­чатых передач является прочность зубьев при изгибе. При выводе расчетной зависимости принимают допущения (рис. 15.3):

1. В зацеплении находится одна пара зубьев.

2. Зуб рассматривают как консольную балку, нагруженную со­-
средоточенной силой F_n, приложенной к зубу в его вершине.

Сила F_n действует под углом (90° - α') к оси симметрии зуба; угол α' несколько больше угла зацепления α_w. Для выявления на­пряженного состояния зуба силу F_n переносят вдоль линии N₁N₂ за­цепления до пересечения с осью зуба в т. С (рис. 15.4, а) и расклады­вают на составляющие, направленные вдоль оси зуба и перпендику­лярно ей.

Под действием составляющей, направленной вдоль оси, в основании зуба действуют напряжения сжатия

σ_сж = F_nsinα'/(bS), эпюра которых по­казана на рис. 15.4, б. Здесь b - длина зуба.

Точки А и В определяют положе­ние опасного сечения зуба при изгибе. Зуб в этом сечении нагружен изги­бающим моментом М = F_nh_pcosα',

вызывающим действие напряжений σ_и: слева от оси по рис. 15.4, б — рас­тяжения, справа - сжатия.

Рис. 15.3

Суммарные напряжения σ_Fhom со стороны растянутых волокон (т. А) имеют меньшие значения, чем со стороны сжатых (т. В). Однако напряже-

С учетом этого напряжения в опасном сечении

ния растяжения являются более опасными. Как показывает опыт эксплуатации, усталостная трещина 1, приводящая к выламыванию зуба, зарождается именно со стороны рас­тянутых волокон b t.A (рис. 15.4). Напряжения, найденные без учета концентраторов, называют номи­нальными.

Определим номинальные напря­жения σ_Fhom изгиба-сжатия b t.A:

Рис. 15.4 где W_x = bS²/6 - осевой момент сопротивления опасного сечения АВ.

Выразив силу F_n через окружную силу F_t с учетом коэффициен­та нагрузки K_F:

получим

Опасное сечение АВ расположено в зоне концентрации напря­жений, вызванной изменением формы на переходной поверхности в основании зуба. Местные напряжения в этом сечении превышают номинальные в α_т раз:

σ_f = σ_Fном α_т , где α_т - теоретический коэффициент концентрации напряжений.

Плечо изгиба h_p и толщину зуба S выражают через модуль т:

h_p = μт и S = λт,

где μ и λ - коэффициенты, учитывающие форму зуба. Тогда

где Y_Fs - коэффициент, учитывающий форму зуба и концентрацию

напряжений:

Значения коэффициента Y_Fs, учитывающего форму зуба и кон­центрацию напряжений, приведены в литературе в виде таблиц или графиков. Меньшие значения коэффициента Y_Fs соответствуют большему числу зубьев и положительному смещению инструмента, так как и то и другое приводит к увеличению толщины зуба у осно­вания.

Учитывая условие прочности σ_F ≤ [σ]_F, получим формулу для проверочного расчета зубчатых передач по напряжениям изгиба:

(15.4)

где [σ]_F - допускаемые напряжения изгиба, МПа; F_t - в Н; b и m - в мм.

В полученную формулу дополнительно введены: Y_β - коэффи­циент, учитывающий угол наклона зуба, и Y_ε - коэффициент, учиты­вающий перекрытие зубьев.

Для прямозубых зубчатых колес: Y_β = 1; Y_ε = 1 при степени точ­ности 8,9; Y_ε = 0,8 при степени точности 5 - 7.

Из-за меньшего числа зубьев зуб шестерни у основания более тонкий, чем зуб колеса; это отражено в большем значении коэффи­циента Y_Fs(Y_Fs1 > Y_Fs2). Для обеспечения примерно равной изгибной

прочности сопряженных зубьев шестерню изготовляют из более прочного по сравнению с колесом материала.

Условие равной прочности на изгиб зубьев шестерни и колеса [σ] _F1 /Y_Fs1 ≈ [σ] _F2 / Y_Fs2 .

где T1- в Нм; b2,т и aw-в мм; σF и [σ]F - в МПа. Теперь решим полученное неравенство относительно m:

Заменив в формуле (15.4) F_t = 2 .10³T₁/d₁ и , полу­чим формулу для проверочного расчета зубьев по напряжениям изгиба

Ширину b₁ венца шестерни выполняют на 2 - 4 мм больше ши­рины b₂ колеса для компенсации возможного осевого смещения зуб­чатых колес из-за неточности сборки. Это условие важно при прира­ботке зубьев, когда более твердая шестерня перекрывает по шири­не менее твердое колесо.

Приняв b = b₂ иобозначив К_т= 10³ Y_FsY_βY_ε , получим расчетную

зависимость для определения минимального значения модуля зубьев m≥K_mK_FT₁(u±l)/(b₂a_w[σ]_F),

где К_т = 3,4 .10³для прямозубых передач и К_т = 2,8.10³ для косозу-бых передач; T₁ –в Нм; b₂, a_w –в мм; [σ]_F –b МПа.

Вместо [σ]_F в формулу подставляют меньшее из [σ] _F1 и [σ]_F2.