Работа силы равна произведению модулей силы иперемещения точки приложения силы и косинуса угла меж­ду ними

Формула (1) справедлива в том случае, когда сила по­стоянна и перемещение тела происходит вдоль прямой. В случае криволинейной траектории и переменной силы мы разделяем траекторию на малые отрезки, которые можно считать прямолинейными, а силу на них постоян­ной.

Работа, в отличие от силы и перемещения, является не векторной, а скалярной величиной. Она может быть поло­жительной, отрицательной или равной нулю.

Знак работы определяется знаком косинуса угла между силой и перемещением. Если α < 90°, то А > 0, так как ко­синус острых углов положителен. При α > 90° работа отри­цательна, так как косинус тупых углов отрицателен. При α = 90° (сила перпендикулярна перемещению) работа не совершается. Так, сила тяжести не совершает работу при перемещении тела по горизонтальной плоскости. При движении спутника по круговой орбите сила тяготения также не совершает работу.

Если на тело действует несколько сил, то проекция ре­зультирующей силы на перемещение равна сумме проек­ций отдельных сил:

F_r = F_1r + F_2r + … (3)

Поэтому для работы результирующей силы получаем

А = F_1r + F_2r + …=А₁+А₂+…

Итак, если на тело действует несколько сил, то полная работа (сумма работ всех сил) равна работе результирую­щей силы.

Совершенную силой работу можно представить графи­чески. Поясним это, изобразив на рисунке зависимость проекции силы от координаты тела при его движении по прямой.

Пусть тело движется вдоль оси ОХ (рис. 2), тогда F cos α = F_x,\ \= ∆х.

Для работы силы получаем:

А = F | | cos α = F_x∆х.

Очевидно, что площадь прямо­угольника, заштрихованного на ри­сунке 3, численно равна работе при перемещении тела из точки с координатой x₁ в точку с коорди­натой х₂.

Единица работы.Единицу рабо­ты можно установить с помощью основной формулы (2). Если при перемещении тела на единицу дли­ны на него действует сила, модуль которой равен единице, и направ­ление силы совпадает с направлением перемещения (α = 0), то и paбота будет равна единице. В Международной системе еди­ниц (СИ) работа измеряется в джоулях (обозначается Дж):

1Дж=1Н·1м = 1Н·м.

Итак, джоуль — это работа, совершаемая силой 1Н на перемещении 1 м, если направления силы и перемещения совпадают.

Часто используют кратную единицу работы — килоджоуль:

1 кДж = 1000 Дж.

Приведено определение работы силы при перемещении тела на , составляющем угол α с направлением силы: А = F | | cos α.

Очень часто важно знать не только работу, но и время, в течение которого она произведена. Поэтому надо ввести еще одну величину — мощность.

Работа может быть совершена как за большой проме­жуток времени, так и за очень малый. На практике, одна­ко, далеко не безразлично, быстро или медленно может быть произведена работа. Временем, в течение которого совершается работа, определяют производительность лю­бого двигателя. Очень большую работу может совершить и крошечный электромоторчик, но для этого понадобится много времени. Потому наряду с работой вводят величину, характеризующую быстроту, с которой она производит­ся, — мощность.

Мощностьюназывают отношение работы А к интерва­лу времени ∆t, за который эта работа совершена:

(4)

Иными словами, мощность численно равна работе, со­вершенной в единицу времени.

Подставляя в формулу (4) вместо работы А ее выра­жение (2), получим

(5)

Таким образом, мощность равна произведению модуля вектора силы на модуль вектора скорости и на косинус угла между направлениями этих векторов.

Понятие мощности вводится для оценки работы за еди­ницу времени, совершаемой каким-либо механизмом (насо­сом, подъемным краном, мотором машины и т. д.). Поэто­му в формулах (4) и (5) под всегда подразумевается сила тяги.

В СИ мощность выражается в ваттах (Вт). Мощность равна 1 Вт, если работа 1 Дж совершается за 1 с.

Наряду с ваттом используются более крупные (крат­ные) единицы мощности:

1 гВт (гектоватт) = 100 Вт,

1 кВт (киловатт) = 1000 Вт,

1 МВт (мегаватт) = 1 000 000 Вт.

Потенциальная и кинетическая энергия. Понятие «механическая работа»

Мышцы, приводящие в движение звенья тела, совершают механическую работу.

Работа в некотором направлении – это произведение силы (F), действующей в направлении перемещения тела на пройденный им путь (S): А = F • S.

Выполнение работы требует энергии. Следовательно, при выполнении работы энергия в системе уменьшается. Поскольку для того чтобы была совершена работа, необходим запас энергии, последнюю можно определить следующим образом: Энергия – это возможность совершить работу, это некоторая мера имеющегося в механической системе « ресурса» для её выполнения. Кроме того, энергия – это мера перехода одного вида движения в другой.

В биомеханике рассматривают следующие основные виды энергии:

• потенциальная, зависящая от взаимного расположения элементов механической системы тела человека;

• кинетическая поступательного движения;

• кинетическая вращательного движения;

• потенциальная деформации элементов системы;

• тепловая;

• обменных процессов.

Полная энергия биомеханической системы равна сумме всех перечисленных видов энергии.

Поднимая тело, сжимая пружину, можно накопить энергию в форме потенциальной для последующего её использования. Потенциальная энергия всегда связана с той или иной силой, действующей со стороны одного тела на другое. Например, Земля силой тяжести действует на падающий предмет, сжатая пружина – на шарик, натянутая тетива – на стрелу.

Потенциальная энергия – это энергия, которой обладает тело благодаря своему положению по отношению к другим телам, или благодаря взаимному расположению частей одного тела.

Стало быть сила тяготения и упругая сила являются потенциальными.

Гравитационная потенциальная энергия: Еп = m • g • h

Потенциальная энергия упругих тел: , где k – жёсткость пружины; х – её деформация.

Из приведённых примеров видно, что энергию можно накопить в форме потенциальной энергии (поднять тело, сжать пружину) для последующего использования.

В биомеханике рассматривают и учитывают два вида потенциальной энергии: обусловленную взаимным расположением звеньев тела к поверхности Земли (гравитационная потенциальная энергия); связанную с упругой деформацией элементов биомеханической системы (кости, мышцы, связки) или каких-либо внешних объектов (спортивных снарядов, инвентаря).

Кинетическая энергия запасается в теле при движении. Движущееся тело совершает работу за счёт её убыли. Поскольку звенья тела и тело человека совершают поступательное и вращательное движения, суммарная кинетическая энергия (Ек) будет равна: , где m – масса, V – линейная скорость, J – момент инерции системы, ω – угловая скорость.

Энергия поступает в биомеханическую систему за счёт протекания в мышцах метаболических обменных процессов. Изменение энергии, в результате которого совершается работа, не является высокоэффективным процессом в биомеханической системе, то есть не вся энергия переходит в полезную работу. Часть энергии теряется необратимо, переходя в тепло: только 25 % используется для выполнения работы, остальные 75 % преобразуются и рассеиваются в организме.

Для биомеханической системы применяют закон сохранения энергии механического движения в форме:

Епол = Ек + Епот + U,

где Епол – полная механическая энергия системы; Ек – кинетическая энергия системы; Епот – потенциальная энергия системы; U – внутренняя энергия системы, представляющая в основном тепловую энергию.

Полная энергия механического движения биомеханической системы имеет в своей основе два следующих источника энергии: метаболические реакции в организме человека и механическая энергия внешней среды (деформирующихся элементов спортивных снарядов, инвентаря, опорных поверхностей; противников при контактных взаимодействиях). Передаётся эта энергия посредством внешних сил.

Особенностью энергопродукции в биомеханической системе является то, что одна часть энергии при движении расходуется на совершение необходимого двигательного действия, другая идёт на необратимое рассеивание запасённой энергии, третья сохраняется и используется при последующем движении. При расчёте затрачиваемой при движениях энергии и совершаемой при этом механической работы тело человека представляют в виде модели многозвеньевой биомеханической системы, аналогичной анатомическому строению. Движения отдельного звена и движения тела в целом рассматривают в виде двух более простых видов движения: поступательного и вращательного.

Полную механическую энергию некоторого i-го звена (Епол) можно подсчитать как сумму потенциальной (Епот) и кинетической энергии (Ек). В свою очередь Ек можно представить как сумму кинетической энергии центра масс звена (Ек.ц.м.), в которой сосредоточена вся масса звена, и кинетической энергии вращения звена относительно центра масс (Ек. Вр.).

Если известна кинематика движения звена, это общее выражение для полной энергии звена будет иметь вид: , где mi – масса i-го звена; ĝ – ускорение свободного падения; hi – высота центра масс над некоторым нулевым уровнем (например, над поверхностью Земли в данном месте); - скорость поступательного движения центра масс; Ji – момент инерции i- го звена относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр масс; ω – мгновенная угловая скорость вращения относительно мгновенной оси.

Работа по изменению полной механической энергии звена (Аi) за время работы от момента t1 до момента t2 равна разности значений энергии в конечный (Еп(t2)) и начальный (Еп(t1)) моменты движения:

Естественно, в данном случае работа затрачивается на изменение потенциальной и кинетической энергии звена.

Если величина работы Аi > 0, то есть энергия увеличилась, то говорят, что над звеном совершена положительная работа. Если же Аi < 0, то есть энергия звена уменьшилась, - отрицательная работа.

Режим работы по изменению энергии данного звена называется преодолевающим, если мышцы совершают положительную работу над звеном; уступающим, если мышцы совершают отрицательную работу над звеном.

Положительная работа совершается, когда мышца сокращается против внешней нагрузки, идёт на разгон звеньев тела, тела в целом, спортивных снарядов и т. д. Отрицательная работа совершается, если мышцы противодействуют растяжению за счёт действия внешних сил. Это происходит при опускании груза, спуска по лестнице, противодействии силе, превышающей силу мышц (например в армрестлинге).

Замечены интересные факты соотношения положительной и отрицательной работ мышц: отрицательная работа мышц экономичней положительной; предварительное выполнение отрицательной работы повышает величину и экономичность следующей за ней положительной работы.

Чем больше скорость передвижения тела человека (во время легкоатлетического бега, бега на коньках, бега на лыжах и т. п.), тем большая часть работ затрачивается не на полезный результат - перемещение тела в пространстве, а на перемещение звеньев относительно ОЦМ. Поэтому при скоростных режимах основная работа тратится на разгон и торможение звеньев тела, так как с ростом скорости резко растут ускорения движения звеньев тела.

О КОНСЕРВАТИВНЫХ СИЛАХ И ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Иванов Е.М.

Резюме | PDF (195 K) | стр. 14-18

Показано, что формула для работы A=F_sdS является частным случаем более общей формулы A= I² / 2m, где -импульс силы, действующий на тело . Введено понятие и вычислена работа поворота. Показано, что консервативных сил и потенциальных полей не существует. Утверждение, что в потенциальном поле есть утверждение о существовании Perpetuum mobile I рода.

The formula of work A=F_sdS is the particular case of the common formula A= I² / 2m, where - is the impulse of power, which act on the body "m". We show that conservative forces and potential fields are not exist. The statement that is the statement about the existence of Perpetuum mobile of the first kind.

Поле сил называется потенциальным, если работа при перемещении в этом поле зависит лишь от начальной и конечной точек пути и не зависит от траектории. Другим эквивалентным определением потенциальности является требование равенства работы нулю при перемещении по любому замкнутому контуру [1]. Силы, образующие такое поле, называются консервативными (потенциальными).

Работа и потенциальная энергия определяются одинаковыми выражениями, отличающимися только знаком [2].

(1a)

(1б)

где F_s - проекция силы F на направление перемещения частицы dS. Используя II закон Ньютона: , выражение (1а) можно представить в виде

или (1в)

где K - кинетическая энергия. Совпадение выражений (1а)-(1в) приводит к закону сохранения и превращения механической энергии, понятию консервативных сил и потенциальных полей.

Из курса термодинамики известно, что работа в газовом процессе зависит от вида процесса, а изменение внутренней энергии или потенциальной энергии давления не зависит от вида процесса, а зависит только от начального и конечного состояния системы (здесь V - объем идеального газа, P - давление,i - число степеней свободы молекул). Причина расхождений между механическими и газовыми процессами кроется в неправильности выражения (1а) и в отсутствии понятия еще одного вида работы - работы поворота.

В соответствии с законом инерции Галилея [3] всякое тело оказывает сопротивление при попытках привести его в движение или изменить модуль или направление его скорости. Это свойство тел называется инертностью. Чтобы преодолеть сопротивление, необходимо приложить усилие, т.е. совершить работу. Однако в курсах механики определены только работы для разгона тела и изменение модуля его скорости. Для этого используется теорема о кинетической энергии [3,4]: изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении между двумя положениями равна работе, совершенной при этом силой: .

Автором [5-7] впервые была введена и рассчитана работа поворота тела массы m при постоянной скоростиV₀ на угол α от первоначального направления движения (поворот вектора импульса):

; ; (2)

Общепринятое выражение для работы можно получить на основе II закона Ньютона . Умножим обе части равенства на пройденный путь S: . Поскольку , то получим или A=K. Отметим, что умножая обе части уравнения на S, мы тем самым отказываем в работе тем силам, которые не производят перемещение тела (S=0 ). Формула отказывает в работе тем силам, которые перпендикулярны к перемещению S ( ), т.е. центростремительным и гироскопическим силам. Однако, автором в работах [5-7] было показано, что эти силы также совершают работу. Поэтому получим другое выражение для работы. Запишем II закон Ньютона в дифференциальной форме и рассмотрим задачу о разгоне первоначально неподвижного тела (трение отсутствует). Интегрируя, получим для постоянной силы: . В левой части -импульс силы, а в правой - импульс тела (количество движения). Возведя в квадрат и разделив на 2m обе части выражения, получим

или (3)

Это выражение не связано с путем , пройденным телом за время t, т.е. оно может быть использовано для вычисления работы, совершаемой импульсом силы и в том случае, если тело остается неподвижным, хотя, как утверждают во всех курсах физики, в этом случае никакой работы не совершается.

Будем рассматривать однородные потенциальные поля: поле силы тяжести вблизи поверхности Земли (рис. 1) и электростатическое поле конденсатора (рис.2), в которых движение материальной точки m или заряда q под действием сил поля происходит из точки 1 в точку 2 по вертикальной линии, параллельной силовым линиям поля (линиям напряженности g или E). По другим направлениям и траекториям они двигаться не могут. Если они движутся из т.1 в т.2 по криволинейной траектории (на рис.1 и 2 - штриховые линии), то, значит, на них еще действуют другие (сторонние) силы, которые искривляют вертикальную траекторию, на что дополнительно тратится работа поворота.

А 1б

Рисунок 1(а, б). Поле силы тяжести вблизи поверхности Земли

А 2б

Рисунок 2(а, б).Электростатическое поле конденсатора

Для того, чтобы заряд или материальная точка изменили движение на противоположное (движение от т.2 к т.1) необходимо приложить стороннюю силу F, направленную вертикально вверх (рис.1б и 2б).

Будем различать два вида работ. I - естественная работа, когда действуют только силы поля и движение происходит по вертикальной линии 1-2. Для гравитационного поля (рис.1) работа . В результате этой работы потенциальная энергия переходит в кинетическую . Для электрического поля (рис.2) (гравитационное поле отсутствует) , где , , , .

II - вынужденная работа - совершается сторонними силами против сил поля при движении от т.2 к т.1. Принципиальное отличие работ I и II вида состоит в том, что в I случае на тело (заряд) действует только однасила, а во II случае действуют, как минимум, две силы. В курсе физики [3, стр.133] говорится, что «Если , то, проецируя это векторное уравнение на направление элементарного перемещения dS, получим , а после умножения на dS: или . Таким образом, элементарная работа результирующей двух или нескольких сил равна сумме элементарных работ этих сил. Очевидно, то же утверждение справедливо и для работ на конечных перемещениях: ». Однако автор [3] ошибается: аддитивность, т.е. простое арифметическое сложение работ, выполняется только для взаимноперпендикулярных сил, например: F_x, F_y, F_z. А для сил, действующих вдоль одной оси, аддитивность работ не выполняется. Это связано с тем, что работа A пропорциональна квадрату силы F² : т.к. , , то . Если взять , то работа .

Рассмотрим движение материальной точки от 2 к 1 (рис.1), возможны 3 варианта [8]. I - бросание вертикально вверх с начальной скоростью V₀ за счет действия мгновенной силы в виде . Затраченная работа . II - подъем силой , где часть силы, равную , назовем силой левитации. Подъем будет происходить равноускоренно: , . На тело при подъеме действуют две силы: F и сила тяжести . . Умножая это выражении на t², получим баланс импульсов, а разделив на 2m, получим баланс энергий (работ). Отдельно запишем положительную и отрицательную работы:

;

(4)

Положительную работу, совершаемую силой F, можно представить в виде:

(5)

Это выражение имеет минимум, равный при . Сумма работ A₊ и A_- дает величину , т.е. величину кинетической энергии, приобретенной телом на высоте h. Отрицательная работа , совершаемая силой тяжести при подъеме тела вверх, вовсе не равна mgh. Она равна

(6)

При большой величине избыточной силы , когда , она асимптотически стремится к величине2mgh.

III вариант - тело находится в состоянии левитации (приложена сила ). Для того, чтобы тело двигалось вверх, в начальный момент времени на тело действует направленный вверх единичный мгновенный импульс силы . При подъеме тела на высоту положительная работа

;

(7)

Эта работа имеет минимум, равный при величине . Отрицательная работа, совершаемая силой тяжести

(8)

При больших значениях начального импульса ( ) она асимптотически стремится к своему обычному значению .

Рассмотрим те же три варианта возвращения заряда q [9], имеющего массу m, из т.2 в т.1 (рис.2). I вариант - действие единичной мгновенной силы в виде . Энергия, приобретенная зарядом в начале движения . II вариант - подъем силой , где сила левитации . Положительная работа

(9)

где t₁ определяется из соотношения: . Выражение (9) имеет минимум в случае , равный . Отрицательная работа кулоновской силы

(10)

При минимальной работа кулоновской силы .

III вариант - приложена сторонняя сила , а для перемещения заряда вверх ему сообщается единичный импульс силы за счет действия мгновенной силы . Положительная работа

;

(11)

Это выражение имеет минимум, равный при . Отрицательная работа кулоновской силы

(12)

При очень большом начальном импульсе ( ) выражение (12) асимптотически стремится к «обычному» значению работы кулоновской силы .

Таким образом, проведенный анализ показал, что никаких фундаментальных консервативных сил и потенциальных полей в природе не существует. Эти ошибочные понятия возникли по одной простой причине, что почему-то считали, что работа подъема тела на высоту h равна mgh, т.е. равна потенциальной энергии и работе спуска. В действительности же работа подъема как минимум в два раза больше. А это означает, что не существует и закона сохранения и превращения энергии в том виде, как его обычно излагают: . В основе баланса энергий (работ) лежит баланс импульсов сил. Баланс энергий (работ) представляет собой не что иное, как I закон термодинамики в приложении к механическим процессам. Если, к примеру, тело перемещается с трением в горизонтальном направлении под действием горизонтальной силыF, то баланс импульсов сил:

(13)

где (II закон Ньютона), - сила деформации. (Любое тело при попытке привести его в движение упруго деформируется). Возводя в квадрат обе части равенства и разделив все на 2m, получим баланс энергий (работ).

(14)

где - путь, пройденный телом за время t. Это выражение можно рассматривать как I закон термодинамики, где в левой части - энергия, подводимая извне в виде импульса силы , а в правой части сумма энергий (работ), часть из которых, связанных с трением и деформацией, переходит во внутреннюю энергию, а - работа, затраченная на разгон тела до скорости V.

В заключение рассмотрим утверждение о том, что если в потенциальном поле материальная точка (или электрический заряд) движется по замкнутому пути, так что в результате движения точка возвращается в исходное положение, то работа, совершаемая при этом силами поля, будет равна нулю, т.е. . На наш взгляд, это есть не что иное, как утверждение о существовании Perpetuum Mobile I рода: т.е. можно перемещать тело или заряд по замкнутому пути, не затрачивая на это энергию извне (это следует из I закона термодинамики). Значит, можно построить колесо обозрения или шахтный подъемник (рис.3 а и б).

Рисунок 3(а, б).Колесо обозрения или шахтный подъемник

Например, шахтный подъемник поднимает наверх руду или уголь, а опускает такую же массу пустой породы. При идеальных подшипниках стоит только слегка раскрутить подъемник, и он будет вечно крутиться, поскольку работа подъема руды будет компенсироваться работой спуска пустой породы!

Каждой точке потенциального поля соответствует, с одной стороны, некоторое значение вектора силы , действующей на тело, и, с другой стороны, некоторое значение потенциальной энергии . Следовательно, между силой и потенциальной энергией должна существовать определенная связь.

Для установления этой связи вычислим элементарную работу , совершаемую силами поля при малом перемещении тела, происходящем вдоль произвольно выбранного направления в пространстве, которое обозначим буквой . Эта работа равна

где - проекция силы на направление .

Поскольку в данном случае работа совершается за счет запаса потенциальной энергии , она равна убыли потенциальной энергии на отрезке оси :

Из двух последних выражений получаем

Откуда

Последнее выражение дает среднее значение на отрезке . Чтобы

получить значение в точке нужно произвести предельный переход:

Так как может изменяться не только при перемещении вдоль оси , но также и при перемещениях вдоль других направлений, предел в этой формул представляет робой так называемую частную производную от по :

Это соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности и для направлений декартовых координатных осей х, у, z:

Эта формула определяет проекции вектора силы на координатные оси. Если известны эти проекции, оказывается определенным и сам вектор силы:

в математике вектор ,

где а - скалярная функция х, у, z, называется градиентом этого скаляра обозначается символом .Следовательно сила равна градиенту потенциальной энергии, взятого с обратным знаком