Розрахунок вала на міцність і жорсткість

На рис. 5.1, а показано сталевий вал постійного перерізу. Модуль пружності при зсуві G = 8·10⁴МПа. Допустиме напруження при крученні [ ] = 60 МПа. Допустимий відносний кут закручування [ ] = 0,25 град/м.

Потрібно:

1) визначити значення скручувального моменту ;

2) побудувати епюру крутних моментів М_к;

3) за умовою міцності знайти діаметр d на кожній ділянці вала;

4) побудувати епюру відносних кутів закручування і провести перевірний розрахунок за умовою жорсткості.

Дані для розрахунку:

т = 2кН×м; а = 20 см;

Розв’язання.

1. Визначаємо значення скручувального моменту m₀:

, –т – т + m₀ –2m = 0,

звідси m₀ = 4m = 4 2 = 8,0 кН×м.

2. Розрахуємо значення скручувального моменту на кожній ділянці вала і будуємо епюру М_к.

На ділянці I М_к = – m = – 2 кН×м;

На ділянці II М_к = –m – m = –2m = – 4 кН×м;

На ділянці III М_к = – m – m + 4m = 2m = 4 кН×м.

Рис. 5.1

За цими даними будуємо епюру М_к (рис. 5.1, б).

3. За умовою міцності знаходимо діаметр вала d на кожній ділянці.

Умова міцності вала круглого поперечного перерізу при крученні має вигляд:

. (5.1)

Для круглого поперечного перерізу полярний момент опору визначається за формулою:

. (5.2)

Із формули (5.1) випливає, що:

. (5.3)

Із співвідношення (5.2) маємо:

(5.4)

На ділянці І: М_к = –2 кН×м. Отже, за формулою (5.3) маємо:

см³.

Із виразу (5.4) знаходимо:

d = 1,721 =5,54 cм.

Беремо d = 5,6 см = 56 мм.

На ділянці ІІ: М_к = –4,0 кН×м.

Отже,

.

d = 1,721 .

Обираємо d = 7,0 см = 70 мм.

На ділянці ІІІ: М_к = 4,0 кН×м. Отже,діаметр вала на третій ділянці потрібно взяти таким, як і на другій ділянці, тобто d = 70мм.

4. Будуємо епюру відносних кутів закручування і проводимо перевірку за умовою жорсткості, яка для вала круглого поперечного перерізу має вигляд:

.

Значення q визначаємо за формулами:

На ділянці І: М_к = –2,0 кН×м; d = 56 мм. Отже,

;

оскільки 1 радіан = 57,3°,

=1,48 град/м < [ ] = 1,5 град/м,

тобто умова жорсткості на ділянці І виконується.

На ділянці ІІМ_к = – 4,0 кН×м, d = 70 мм. Отже,

тобто умова жорсткості виконується.

На ділянці III: М_к = 4,0 кН×м; d = 70 мм. Отже, q = 1,21 град/м. За цими даними будуємо епюру (рис. 5.1, в). Умова жорсткості на всіх ділянках вала виконується.

Методичні рекомендації

Під час вивчення кручення необхідно звернути увагу на закони розподілення напружень у разі розтягання (або стискання) і зсуву. Доцільно особливу увагу приділити побудові епюр крутних моментів, напружень і деформації — кутів закручування.

Необхідно запам’ятати, що при крученні виникає деформація чистого зсуву, а напружений стан – плоский. Потрібно вміти визначати головні напруження при крученні, встановлювати їх зв’язок з дотичними напруженнями, які виникають у поперечних перерізах вала. При виведенні формул для визначення напружень і деформації слід звернути увагу на використання спрощувальних гіпотез.

Вивчаючи питання про кручення бруса прямокутного поперечного перерізу, необхідно запам’ятати, що в цьому випадку поперечні перерізи не залишаються плоскими. Потрібно ознайомитися з формулами для визначення напружень у серединах сторін прямокутника: розглянути окремий випадок вузького прямокутного перерізу.

У процесі вивчення вільного кручення тонкостінних стержнів необхідно запам’ятати, що бруси відкритого і замкнутого профілів розраховуються по-різному. Слід ознайомитися з формулами для визначення максимального дотичного напруження і кутів закручування для відкритих перерізів, які складаються з вузьких і довгих прямокутників. Необхідно навчитися виводити подібні формули для бруса, який має поперечний переріз у формі замкнутого тонкостінного профілю.

Гвинтові пружини розраховують здебільшого на кручення. Потрібно навчитися виводити формули для найбільшого дотичного напруження і деформації пружини.

Запитання для самоперевірки

1. Що називається деформацією кручення? Який силовий фактор виникає в перерізі і як будується його епюра?

2. Виведіть формули для визначення напружень у поперечному перерізі і кута закручування круглого вала. Поясніть поняття «полярний момент інерції» і «полярний момент опору» перерізу.

3. Який напружений стан виникає в кожній точці круглого вала при крученні? Які напруження діють у поперечному і похилих до осі вала перерізах?

4. Як виконуються розрахунки вала на міцність і жорсткість? Доведіть, що порожнистий вал економніший за суцільний.

5. Виведіть формули для обчислення напружень і деформації в пружинах? На яких припущеннях основані виводи цих формул?

6. За якими формулами можна визначити дотичні напруження і кути закручування для бруса прямокутного поперечного перерізу?

7. На які два види поділяються тонкостінні профілі під час кручення?

8. Як визначаються дотичні напруження і кути закручування для тонкостінних стержнів відкритого і замкнутого профілів?

Складний опір

Розрахунок похилої балки

Для заданої похилої балки (рис. 6.1) потрібно:

1. Побудувати епюри поперечних сил Q, згинальних моментів М і нормальних сил N.

2. Підібрати переріз двотаврової балки.

3. Зробити перевірку за найбільшими нормальними та дотичними напруженнями.

Дані для розрахунку:

зосереджена сила P = 20 кН; вага погонного метру балки q =8 кН/м;вага від снігу q_с= 6 кН/м; тиск вітру на один погонний метр балки q_в= 5 кН/м; кут нахилу балки α = 25⁰; довжина ділянок балки a = 1,5 м, b = 4 м; допустиме напруження МПа.

Рис. 6.1

Рис. 6.2

Розв’язання.

І. Визначення навантаження, яке діє вздовж повздовжньої осі балки, а також навантаження, яке діє перпендикулярно поздовжній осі

а) від ваги снігу (рис. 6.2)

кН;

кН;

Рис. 6.3

кН.

Довжина ділянки балки, на яку діють сили і :

м.

Розподілене навантаження від ваги снігу на довжині ділянки балки 4,41 м (рис. 6.3).

Рис. 6.4

кН/м;

кН/м.

б) Від зосередженої сили Р (рис. 6.4).

кН,

кН.

Рис. 6.5

в) Розподілене навантаження від власної ваги ділянки довжиною 1,65 м (довжина ділянки, вага якої враховується при розрахунку м, рис. 6.5).

кН/м;

кН/м.

На основі отриманих обчислень будуємо окремо розрахункову схему з врахуванням нормальних сил (рис. 6.6, а) і розрахункову схему з врахуванням тільки поздовжніх сил (рис. 6.6, г).

ІІ. Визначення опорних реакцій (рис. 6.6, а).

1. ;

R_B = 11,6 кН.

2. ;

R_A = 48,32 кН.

3. (перевірка).

ІІІ. Побудова епюр Q і М (рис. 6.6, б, в).

І ділянка. м;

Рис. 6.6

.

При х₁ = 0

х₁ = 1,65 м

.

х₁ = 0 .

х₁ = 1,65 м кН м;

ІІ ділянка. 1,65 м 6,06 м;

.

При х₂ = 1,65 м 18,32 кН;

х₂ = 6,06 м -3,35 кН.

Знаходимо координату х₂ в перерізі, де М_max.

, звідси х₂ = 5,36 м.

При х₂ = 1,65 м 31,23 кН×м.

х₂ = 6,06 м 6,8 кН.м.

х₂ = 5,36 м 6 кН×м.

ІІІ ділянка. (з правого боку) ;

.

При х₃ = 0 м 0 кН;

x₃ = 1,65 м 8,25 кН.

.

При х₃ = 0 м кН·м.

х₃ = 1,65 м кН·м.

IV. Побудова епюри N (рис. 6.6, д).

Визначаємо опорну реакцію H_A.

І ділянка. 0 1,65 м;

При х₁ = 0 8,46 кН.

х₁ = 1,65 м кН.

ІІ ділянка. 1,65 м 6,06 м;

.

При х₂ = 1,65 м – 10,14 кН;

х₂ = 6,06 м 0.

ІІІ ділянка.

.

V. Підбір поперечного перерізу двотаврової балки.

Побудувавши епюри М і N , бачимо, що небезпечним є переріз при х = 1,65 м, в якому М_max = 31,23 кН·м і N = 14,03 кН·м;

МПа. (6.1)

Умова міцності (6.1) вміщує дві невідомих величини W_y i F. В більшості випадків напруження σ від згинання більше, ніж від поздовжньої сили, тому при підборі перерізу можна спочатку у формулі (6.1) опустити другий доданок і знайти наближене значення із розрахунку на згинання.

м³ = 195 cм³.

Потім за таблицею сортаменту потрібно вибрати двотавр з моментом опору дещо більшим, ніж W_y.

Вибираємо двотавр №22 (ДСТУ 8239-89), W_y = 232 cм³,

F = 30,6 cм².

Потім перевіряємо міцність вибраного перерізу, обчислюючи максимальне нормальне напруження за формулою (6.1).

= 138,5 МПа МПа.

Перевірка міцності балки за найбільшими дотичними напруженнями.

Для балки №22 за таблицями знаходимо:

S₀ = 131 cм³; J_y = 2550 cм⁴; b₀ = 0,54 cм.

Тут МПа.

Отже, умова міцності за найбільшими нормальними і дотичними напруженнями задовольняється.