Визначення переміщень балок методом початкових параметрів

Короткі теоретичні відомості:

Якщо на балку будуть діяти декілька зосереджених моментів Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru , декілька зосереджених сил Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru і декілька ділянок рівномірно розподіленого навантаження інтенсивністю Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru (рис. 4.9),

Рис. 4.9

то рівняння зігнутої осі балки можна подати у такому вигляді:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru (4.7)

де Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru абсциси точок прикладення зосереджених пар сил Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru , сил Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru відповідно, початків рівномірно розподілених навантажень інтенсивністю Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru . У формулі (4.7) припускається, що початок координат збігається з лівим кінцем балки.

Два початкових параметри із чотирьох у формулі (4.7) є відомими при будь-якому методі закріплення лівого кінця балки. Дійсно, для затиснутого лівого кінця Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru і Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru для шарнірно-опертого лівого кінця Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru і Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru для вільного кінця відомі Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru і Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru . Невідомі один або два початкових параметри знаходять з умов закріплення інших перерізів балки.

Розглянемо приклади застосування методу початкових параметрів.

Приклад 1. Для балки, показаної на рис. 4.10 знайти рівняння прогинів і кутів повороту а також значення прогину і кута повороту перерізу в точці В.

Рис. 4.10
У цьому випадку початкові параметри дорівнюють: Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru ;

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

З урахуванням цього рівняння вираз (4.7) набуває вигляду:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

звідси:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru .

При x = l маємо:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Приклад 2. Для заданої консольної балки знайти рівняння прогинів і кутів повороту, а також значення прогину і кута повороту перерізу в точці В (рис. 4.11).

Рис. 4.11

У цьому випадку початкові параметри дорівнюють:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru .

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Отже, на основні рівняння (4.7) у даному випадку отримаємо:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru ;

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru .

Отже, остаточно одержуємо рівняння прогинів і кутів повороту перерізу:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru ;

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru .

При x = l маємо:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Приклад 3. Для балки на двох опорах знайти рівняння прогинів і кутів повороту, а також значення прогину в перерізі під силою Р (рис. 4.12).

Для балки, яка розглядається

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru ,

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru – невідомо.

Для ділянки I Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru :

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Рис. 4.12

для ділянки II Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Для визначення Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru використаємо умову: при x = l z = 0.

Отже,

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Звідси дістаємо

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru .

Таким чином:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначаємо прогин перерізу під силою, тобто при x = a:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

У тому окремому випадку, коли Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru , маємо:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Приклад 4. Застосуємо метод початкових параметрів до визначення переміщень в перерізах Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru і Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru для балки, зображеної на рис. 4.13

Рис. 4.13

Дано: Р = 32 кН, q = 14 кН/м, m = 16 кНм.

(Балка двотавр №22 (ДСТУ 8239-89) Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru , Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru ).

Розв’язання: В даному випадку Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru , Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru , Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru . Невідомий початковий параметр Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru .

Рівняння зігнутої осі балки буде мати вигляд:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Невідомий початковий параметр Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru можна визначити із умови на опорі В, при x=8,8 м. z=0. На відрізку Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Задовольняючи умову на опорі В, отримаємо рівняння

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Звідси

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Підставляючи знайдене значення Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru у рівняння зігнутої осі балки, дістаємо остаточне рівняння у такому вигляді:

для ділянки I Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru ;

для ділянки II Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru ;

для ділянки III Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru ;

для ділянки IV Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru для ділянки V Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru За допомогою цих рівнянь можна визначити прогин у будь-якому перерізі балки. Розрахуємо, наприклад, прогини балки в перерізах при x=2,8 м та x=6,8 м.

Використовуючи рівняння II-ї ділянки, маємо:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Використовуючи рівняння III-ї ділянки, маємо:

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru

Визначення переміщень балок методом початкових параметрів - student2.ru .

Наши рекомендации