Операторы важнейших физических величин

6.33 Связь между изображением физических величин операторами и опытом____________

Постулат, устанавливающий связь между изображением физических величин

операторами и опытом____________________________________________________________

Совокупность собственных значений оператора (L₁, L₂, ... , L_n, …) тождественна с совокупностью всех возможных результатов измерений механической величины L, изображаемой оператором .

Иными словами, на опыте наблюдаются только те значения величин: которые совпадают с одним из собственных значений оператора соответствующего рассматриваемой величине.

6.34 Операторы координаты и импульса___________________________________________

Оператор координаты		Оператор координаты частицы есть само число
Операторы проекции импульса соответственно на оси х, у, z		Операторы координаты проекции импульса являются основными в квантовой теории
Оператор вектора импульса		[ — единичные векторы координатных осей; набла - оператор   ла-оператор]

6.35 Операторы момента импульса______________________________________________________

Оператор момента импульса
Операторы проекций момента импульса на оси координат		Расписаны согласно век­торному произведению (см. оператор момента импульса)
Оператор проекции момента импульса на полярную ось г (от нее отсчитывается полярный угол )		Вид этого оператора похож на вид операторов проекции импульса 6.34

6.36 Уравнения для собственных значений операторов и _______________________

Уравнение	Собственные значения	Пояснения
		Лишь при данных собственных значе­ниях квадрата момента импульса реше­ния уравнения удовлетворяют услови­ям непрерывности, конечности и одно­значности (/ — целое положительное число)
или		Решение уравнения имеет вид . Чтобы функция была одно­значной, надо, чтобы или . Это же воз­можно только тогда, когда Ьг/п = т, где т — нуль или целое (положитель­ное или отрицательное) число

Вывод. Собственные значения операторов и образуют дискретный ряд значений, т. е. момент импульса и проекция момента импульса на произвольную ось г квантуются.

6.37 Операторы энергии____________________________________________________________

Оператор кинетической энергии____________________________________________________

	Аналогично, найдя и , получим опера­тор кинетической энергии (Δ — оператор Лап­ласа).

Оператор потенциальной энергии___________________________________________________

Потенциальная энергия U = U(x,y,z) — функ­ция только координат, поэтому оператор потен­циальной энергии есть сама потенциальная энергия.

Оператор полной энергии (гамильтониан)__________________________________________

Кинетическая энергия — функция импульсов, а потенциальная — функция координат. По соотношению неопределенностей не существует таких состояний, в которых частицы имели бы одновременно определенные импульсы и координаты. Поэтому полная энергия микрочастицы измеряется как единое целое. В классической механике полную энергию, выраженную через импульсы и координаты, называют функцией Гамильтона Н. Если силы не зависят от времени, то функция Гамильтона совпадает с полной энергией системы: Н = Е.

6.38 Уравнение Шредингера в операторной форме__________________________________

Уравнение	Обычная запись уравнения	Гамильтониан, оператор полной энергии	Операторная форма
Временное уравнение Шредингера
	Ψ = Ψ(х, у, z, t).Уравнение Шредингера в операторной форме имеет более общий характер и пригодно для описания движения частицы в произвольных стационарных и нестационарных полях, в частности в случае движения частицы в электромагнитном поле
Стационарное уравнение Шредингера

[Е — полная энергия частицы; Ψ = Ψ(х, у, z)— координатная часть волновой функции Ψ(x, y, z, t); стационарное уравнение Шредингера в операторной форме имеет регулярные решения лишь при определенных значениях Е, образующих спектр оператора полной энергии]