III. Составление структурной схемы системы
В соответствии с исходной блок-схемой приведена структурная схема системы (на рисунке 3). Общие правила ее составления следующие:
3.1. Система представляется в виде совокупности звеньев и их взаимосвязи согласно заданной блок-схеме.
3.2. Элементы, формирующие сигнал единичной обратной связи с единицей измерения управляющего для (системы) контура сигнала, показываются в цепи обратной связи. Далее при описании замкнутой системы коэффициент передачи звена (совокупности звеньев) принимается равным единице.
3.3. Элемент, выполняющий сравнение (вычитание) сигналов задания и главной обратной связи, вносится в прямой тракт в виде автономного элемента или в совокупности с элементами, формирующими сигнал главной обратной связи. На схеме дается условное обозначение элемента сравнения, его коэффициент передачи принимается равным единице.
3.4. При замыкании внутренних контуров местной единичной обратной связью поступают аналогично пп. 3.2 и 3.3.
3.5. Нумерация передаточных функций дается в индексах, порядок нумерации слева направо.
3.6. Показываются входная и выходная координаты, ошибка и необходимые для использования в расчетах промежуточные координаты.
Приводится структурная схема системы, и дается расшифровка обозначения
передаточных функций. При необходимости отмечаются ее особенности.
Например. Структурная схема системы приведена на рисунке 4. На схеме приняты следующие обозначения:
- передаточная схема чувствительного элемента;
- передаточная функция регулятора положения;
- передаточная функция последовательного корректирующего звена;
- передаточная функция регулятора скорости;
- передаточная функция регулятор напряжения (тока);
- передаточная функция усилителя мощности;
- передаточная функция двигателя;
- передаточная функция регулятора;
- передаточная функция шариковинтовой передачи;
- передаточная функция датчика напряжения;
- передаточная функция тахогенератора.
Рис.4
Особенности схемы:
1) форма управляющего сигнала - напряжение, крутизна характеристики назначается ниже;
2) формирователь сигнала обратной связи выполнен на элементах структурной схемы: шариковинтовая передача, редуктор Р2, вращающийся трансформатор, работающий в фазовом режиме, преобразователь фаза-напряжение;
3) элемент сравнения - усилитель с двумя входами;
4) имеются внутренние контуры (показать какие) с единичными (неединичными обратными связями);
IV. Передаточные функции (ПФ) звеньев системы.
4.1. Формирователь сигнала главной обратной связи и чувствительный элемент.
Для формирования сигнала главной обратной связи используются следующие элементы системы: шариковинтовая передача, редуктор Р2, вращающийся трансформатор, работающий в фазовом режиме, преобразователь фаза-напряжение).
Чувствительный элемент включает в себя преобразователь управляющего воздействия, элемент сравнения (усилитель с двумя входами для получения разности сигналов задания и сигнала регулируемой координаты ) и нормализатора сигнала ошибки. Структурная схема формирователя и чувствительного элемента приведена на рис. 4.
Рис. 4. Структурная схема канала обратной связи и чувствительного элемента
Здесь приняты следующие обозначения:
- ПФ преобразователя управляющего воздействия в напряжение;
- ПФ шариковинтовой передачи;
- ПФ редуктора Р2;
- ПФ вращающегося трансформатора;
- ПФ преобразователя фаза-напряжение;
- ПФ нормализатора сигнала ошибки.
- угол поворота шариковинтовой передачи;
- угол порота выходной оси приборного редуктора Р2;
- фазовый сдвиг выходного напряжения вращающегося трансформатора относительно опорного напряжения (единица измерения - электрический градус, град*).
При выводе передаточных функций следует обеспечить одинаковую крутизну сигналов по управляющему воздействию и регулируемой координате. При этом следует иметь в виду:
1) общий коэффициент передачи этого звена должен быть равен единице;
2) максимальное напряжение в цепи сигналов задания и обратной связи - 10В; оно соответствует величине максимального перемещения рабочего органа (полагаем, что измерительная система одноотсчетная);
3) максимальное напряжение, подаваемое на усилитель, реализующий элемент сравнения, составляет 10В; при этом величина ошибки в системе равна заданной по ТЗ величине кинетической ошибки;
4) преобразование сигналов в этих звеньях безынерционное и без запаздывания.
Шариковинтовая передача (ШВП) как преобразующее звено в цепи обратной связи. При выводе ПФ следует иметь в виду, что здесь она преобразует линейное перемещение в угловое. При повороте на один оборот ШВП преобразуется линейное перемещение, соответствующее значению шага ходового винта ШВП. ПФ ШВП определяется, град/мм
.
Приборный редуктор Р2 обеспечивает заданную цену оборота вращающегося трансформатора . Под ценой оборота понимается линейное перемещение рабочего органа, при котором его ротор совершает один оборот, или поворачивается на угол 360 град. ПФ редуктора Р2 имеет вид:
.
Вращающийся трансформатор преобразует угловое перемещение в сигнал. Он работает в фазовом режиме. При этом его выходное напряжение
.
Информационным сигналом этого звена является величина фазового сдвига выходного напряжения, т.е. относительно опорного. Следует иметь в виду, что коэффициент передачи вращающегося трансформатора, работающего в фазовом режиме, равен 1. Передаточная функция задается в виде:
.
Преобразователь фаза-напряжение. Выполнен многоотсчетным. Выходное напряжение 10 В. Передаточная функция находится по выражению, В/град
.
Здесь - суммарный фазовый сдвиг, соответствующий максимальному перемещению . Он определяется как
;
.
Передаточную функцию звеньев, формирующих сигнал обратной связи вычисляем, В/мм
,
.
Следует иметь в виду, что крутизна сигналов управляющего воздействия Gи регулируемой координаты Xпо цепи обратной связи должна быть одинаковой, то есть должно соблюдаться условие
.
Преобразователь напряжения сигнала задания. Выходное напряжение 10 В. Оно соответствует всему диапазону управляющего воздействия, т.е. величине максимального перемещения. Передаточная функция, В/мм
.
Элемент сравнения формирует сигнал ошибки
.
Передаточная функция чувствительного элемента с учетом того, что преобразование безынерционное, будет
.
Передаточная функция нормализатора сигнала ошибки. В техническом задании определена кинетическая ошибка системы. Так как рассматривается линейная система с астатизмом первого порядка, то в режиме слежения с заданной максимальной скоростью ошибка не может быть больше заданного значения . Поэтому, исходя из условий физической реализации системы, максимальное выходное напряжение нормализатора соответствует именно этому значению, и, в свою очередь, составляет стандартную величину10 В.
Величина напряжения, соответствующего величине контурной ошибки на выходе чувствительного элемента, будет, В
В.
Коэффициент передачи нормализатора определяется
В.
Передаточная функция чувствительного элемента окончательно определяется как передаточная функция пропорционального звена с коэффициентом передачи, В/мм
.
4.2. Регулятор положения
Вид и параметры регулятора положения определены ТЗ. Это пропорциональное звено с передаточной функцией
.
4.3. Усилитель с корректирующим звеном
Вводится в прямой тракт для получения заданных динамических характеристик САУ. В результате синтеза необходимо определить вид и параметры этого звена. На предварительном этапе синтеза принимаем
.
4.4. Регулятор скорости
Вид и параметры регулятора скорости определены ТЗ. Это пропорциональное звено с передаточной функцией
.
4.5. Регулятор напряжения
Вид и параметры регулятора напряжения определены ТЗ. Это изодромное звено с передаточной функцией
.
4.6. Усилитель мощности
В качестве усилителя мощности используется тиристорный преобразователь. Исполненный в виде управляемого выпрямителя (УВ).
Передаточная функция тиристорного преобразователя определяется в виде апериодического звена с чистым запаздыванием
.
Коэффициент передачи преобразователя определяется
.
Постоянная времени преобразователя находится по выражению
.
Чистое запаздывание обусловлено физическими особенностями работы тиристорных преобразователей. Для преобразователя типа УВ чистое запаздывание
.
где f - частота питания преобразователя.
Для рассматриваемого вида преобразователя чистое запаздывание можно представить в виде дополнительной составляющей в постоянной времени этого звена [3]. Тогда ПФ принимает вид
,
где ,
.
4.7. Исполнительный двигатель
В качестве исполнительного двигателя используется двигатель постоянного тока с независимым возбуждением. Необходимо выполнить линеаризацию уравнений, описывающих его. В результате преобразований даются передаточные функции двигателя по управляющему и возмущающему воздействиям, соотношения для определения постоянных времени и коэффициентов передачи по скорости и моменту.
u – Uя, i – Iя, r – Rя, L – Lя, J – Jя.
(1).
Линеаризуем , для этого разложим функцию в окрестности рабочей точки в ряд Тейлора:
,
ω=ω0+Δω.
Пологая что Δω мало, отбросим нелинейные члены разложения.
= Се – коэффициент противоэдс.
,
тогда
– коэффициент передачи двигателя по моменту.
Пусть установившемуся рабочему движению двигателя соответствует тогда
Согласно принятого перепишем (1).
(2).
Уравнение статики для ДПТ имеет вид:
(3).
Вычтем из (2) (3) получим уравнение ДПТ в приращении.
.
Переедем от оригиналов к изображениям.
.
Выразим из второго уравнения I(p) и подставим в первое.
–электромеханическая постоянная времени двигателя, – электромагнитная постоянная времени двигателя.
С учётом всего этого запишем.
,
2
Так как при синтезе используется параметр добротности системы по скорости в с-1 , то здесь и далее при определении коэффициентов передачи звеньев угловые частоты вращения следует давать в рад/с.
Регулируемой координатой САУ является перемещение. Двигатель является интегрирующим звеном. При таком варианте использования ПФ двигателя операцию интегрирования скорости согласно принципу суперпозиции, справедливому для линейных систем, следует отнести к одному из последующих звеньев, например к ШВП.
4.8. Силовой редуктор
Силовой редуктор является трансформатором частоты вращения и передаваемого двигателем момента. Настоящая система синтезируется по управляющему воздействию. Считаем, что эта механическая передача выполнена идеально и имеет абсолютную жесткость. Тогда она описывается передаточной функцией пропорционального звена
.
Используем заданную по ТЗ единицу измерения частоты вращения вала двигателя об/мин. Определим соответствующую заданной скорости перемещения частоту вращения ходового винта, (мм/мин)/(мм/об)
4.9. Шариковинтовая передача
Отметим функции ШВП, как звена САУ. Это звено является выходным звеном контура положения. Выходной координатой контура скорости является скорость, а контура положения - положение. С ШВП сочленен датчик обратной связи, замыкающий контур и всю систему по положению. Поэтому при таком построении структурной схемы ШВМ с учетом правил преобразования структурных схем линейных систем отнесем к этому звену две функции:
1) интегрирование входного сигнала - сигнала скорости;
2) преобразование углового перемещения в линейное.
Считаем, что ШВП выполнена идеально и имеет абсолютную жесткость. Тогда передаточная функция ШВП определяется, мм/(рад/с)
4.10. Нормализатор сигнала местной обратной связи по напряжению
Контур по напряжению замыкается местной обратной связью. Звено с передаточной функцией формирует сигнал, пропорциональный напряжению исполнительного двигателя. Это звено реализует единичную обратную связь данного контура. Для этого его выходное напряжение , соответствующее максимальному сигналу на выходе контура , должно соответствовать максимальному входному сигналу, которое составляет 10 В. Согласно комбинированной схеме силовой части (см. рис. 2) напряжение обратной связи снимается непосредственно с якоря двигателя. Для развязки цепей должен использоваться развязывающий усилитель с высоким входным сопротивлением и коэффициентом передачи, обеспечивающим единичную обратную связь. Тогда коэффициент передачи этого звена, реализующего единичную обратную связь контура, определяется,
Отметим еще раз, что при определенных таким образом коэффициентах передачи звена в цепи обратной связи, реализуется коэффициент, равный единице. Тогда на этапе синтеза данного контура обратная связь принимается единичной.
4.11. Тахогенератор
Звено с передаточной функцией реализует единичную обратную связь для контура скорости, это тахогенератор. Его выходное напряжение , соответствующее максимальной скорости (частоте вращения) двигателя , должно соответствовать максимальному входному сигналу контура и составляет 10 В. Преобразование сигнала безынерционное. Тогда это звено описывается передаточной функцией пропорционального звена, В/(рад/с)
Отметим также, что, как и для предыдущего контура, здесь реализуется коэффициент передачи обратной связи, равный единице. Тогда на этапе синтеза данного контура обратная связь принимается единичной.
V. Передаточные функции системы
Необходимо составить передаточные функции:
- разомкнутой системы по управляющему воздействию ;
- разомкнутой системы по возмущающему воздействию ;
- замкнутой системы по управляющему воздействию ;
- замкнутой системы по возмущающему воздействию ;
- замкнутой системы по ошибке от управляющего воздействия ;
- замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия .
При выводе передаточной функции разомкнутой системы следует начинать преобразования (укрупнение) с самого внутреннего контура - контура напряжения (тока).
Передаточные функции записать в двух вариантах:
2) в общем виде, например
, д.б. а0=1, b0=1
где ;
;
………… .
;
;
………… ;
2) с числовыми значениями.
При выводе передаточной функции разомкнутой системы для самоконтроля следует иметь в виду: а) единицей измерения добротности системы по скорости должен быть миллиметр, делённый на секунду, так как регулируемая координата - линейное перемещение; б) так как система имеет астатизм первого порядка, то в знаменателе обязательно должен быть нулевой корень р; при возрастании степени полинома оператора р коэффициенты при нем должны уменьшаться (на порядок и более).
VI. Синтез корректирующих звеньев
6.1. Синтез корректирующих звеньев контура напряжения (тока).
Наибольшее распространение получил метод синтеза по ЛАЧХ, поэтому ниже даются основные положения по этому методу применительно к последовательным корректирующим звеньям. Исходные динамические показатели при синтезе контуров приведены в табл.1
Таблица 1. Динамические показатели САУ
| Тип контура | Добротность | Время переходного процесса | Перерегулирование |
| РН(Т) | 40-60 | ||
| РС | 30-50 | % | |
| РП | =0,133 | =35 |
Приводится структурная схема контура. Главная обратная связь показывается единичной. Исходные данные берутся из таблицы 7. Выполняется синтез корректирующего устройства. Приводятся необходимые графики ЛАЧХ и ФЧХ (синтезированного) контура.
Структурная схема исходного контура приведена на рисунке 11.
Рисунок 11- Структурная схема контура напряжения
Построение ЛАЧХ исходного контура. Передаточная функция исходного контура ранее определена и имеет вид
.
Вначале полагаем, что передаточная функция корректирующего звена равна единице
.
Требуемая добротность контура определена заданием (таблица 7.) и составляет 40. Строим ЛАЧХ исходного контура при добротности К=40 ).
Так как добротность исходного контура ниже требуемой, то коэффициент его передачи увеличивается за счет введения дополнительного усилителя с коэффициентом усиления
.
Сопрягающие частоты ЛАЧХ исходного контура:
; .
Построение желаемой ЛАЧХ. Контур должен иметь добротность К=45 с-1 и показатели переходного процесса:
; .
На оси частоты при откладывается точка .
Через точку проводится прямая под наклоном –20 дБ/дек.
Определяем частоту среза. Так как перерегулирование не задано, то
принимаем
.
На частоте среза проводится прямая под наклоном -20 дБ/дек до значений = 11 дБ. При этом сопрягающие частоты будут
, .
Из точки ЛАЧХ на частоте проводится прямая под наклоном 0 дБ/дек до пересечения с низкочастотной частью ЛАЧХ. При этом определяется первая сопрягающая частота .
На частоте ωЖ3 ЛАЧХ принимает наклон -40 дБ/дек и проводится до граничной частоты, которая определяется из условия , принимаем . Далее наклоны желаемой ЛАХ берутся равными наклонам исходной системы.
Соответствующая построенной желаемой ЛАЧХ передаточная функция контура будет ,
где , , .
Определение передаточной функции корректирующего звена. ЛАЧХ корректирующего звена определяется как:
.
В результате по полученной ЛАЧХ записываем передаточную функцию корректирующего звена
.
Так как полученная передаточная функция не реализуется одним звеном, то разбиваем его на три
.
По результирующей ЛАЧХ корректирующего звена строится ЛАЧХ составляющих корректирующих звеньев .
; ; .
Выбор схемы корректирующих звеньев и определение значений входящих в нее элементов.
1. Рассмотрим для первого корректирующего звена с передаточной функцией
.
Звено интегродифференцирующее, постоянная времени числителя больше постоянной времени знаменателя. Выбираем схему электрическую принципиальную корректирующего звена (КЗ), описываемой такой передаточной функцией .
Выведем передаточную функцию этого звена. В результате вывода получаем .
Элементы схемы и параметры передаточной функции звена определяются следующими соотношениями
; ; .
Числовые значения коэффициента передачи и постоянных времени звена должны быть
, , .
Задаемся значением входного сопротивления цепочки 10 кОм, которое выбирается в диапазоне 5–10 кОм, что соответствует входным и выходным сопротивлениям нагрузки, применяемым в электроприводах усилителей и преобразователей.
Определяем числовое значение емкости конденсатора C1, мкФ
.
Определяем значение сопротивления : , откуда
.
В результате расчетов значения элементов корректирующей цепочки будут: , , .
Определяем коэффициент передачи корректирующего звена
.
Так как фактический коэффициент передачи полученного звена не совпадает с требуемым значением , то коэффициент передачи прямого тракта контура умножается на соответствующее значение , определяемое из условия , откуда .
2. Рассмотрим для второго корректирующего звена с передаточной функцией
.
Числовые значения коэффициента передачи и постоянных времени звена должны быть , , .
Определяем числовое значение емкости конденсатора C1, мкФ
.
Определяем значение сопротивления : ,откуда
.
В результате расчетов значения элементов корректирующей цепочки будут:
, , .
Определяем коэффициент передачи корректирующего звена, где 10 кОм,
Так как фактический коэффициент передачи полученного звена не совпадает с требуемым значением , то коэффициент передачи прямого тракта контура умножается на соответствующее значение , определяемое из условия , откуда .
3. Рассмотрим для третьего корректирующего звена с передаточной функцией .
Числовые значения коэффициента передачи и постоянных времени звена должны быть , , .
Определяем числовое значение емкости конденсатора C1, мкФ
.
Определяем значение сопротивления : , откуда
.
В результате расчетов значения элементов корректирующей цепочки будут:
, , .
Определяем коэффициент передачи корректирующего звена, где 10 кОм,
Так как фактический коэффициент передачи полученного звена не совпадает с требуемым значением , то коэффициент передачи прямого
тракта контура умножается на соответствующее значение , определяемое из условия , откуда .
5.2.Синтез корректирующих звеньев контура скорости.
Приводится структурная схема контура. Главная обратная связь показывается единичной. Исходные данные берутся из табл. 5. Выполняется синтез корректирующего устройства. Приводятся необходимые графики ЛАЧХ.
Структурная схема контура скорости приведена на рис.13.
Рисунок 13- Структурная схема контура скорости
Строим ЛАЧХ исходного контура Lu2(ω).Передаточная функция исходного контура имеет вид:
.
Определение ПФ замкнутого контура:
где .
Передаточная функция корректирующего звена равна единице
WK3(p) = 1, тогда
.
Добротность для контура скорости принимаем Кж = 30(20lg30=30дБ).
Т.к. добротность исходного контура ниже требуемой, то вводим усилитель с коэффициентом усиления:
.
Сопрягающие частоты ЛАЧХ исходного контура:
; ;
Строим желаемую ЛАЧХ Lж2(ω).
Исходные данные:
- добротность контура Кж =30[c-1];
- время переходного процесса tппк2=0,0375 [c-1];
- перерегулирование σ = 35%.
Низкочастотная область – на оси частот при ω = 1 откладываем точку 20lgК=20lg30=30[дБ] и через нее проводим горизонтальную прямую.
Среднечастотная область – частота среза:
.
Через точку ωс = 440[c-1] проводим прямую под наклоном -20 дБ/дек до значений L(ω) = ±11[дБ/дек]; ωж2 =90 [c-1]; ωж3 = 900[c-1].
Из точки ЛАЧХ на частоте проводится прямая под наклоном 0 дБ/дек до пересечения с низкочастотной частью ЛАЧХ. При этом определяется первая сопрягающая частота .
Высокочастотная область – на частоте ωж2 проводим прямую под наклоном -40 дБ/дек до граничной частоты ωг = 5 ∙ ωж2 = 5 ∙900 = 4500 [c-1], далее наклоны желаемой ЛАЧХ равны наклонам исходной системы.
ПФ желаемого контура:
.
Определение ПФ корректирующего звена.
ЛАЧХ корректирующего звена определяется как:
.
В результате по полученной ЛАЧХ Lк3(ω) записываем ПФ корректирующего звена:
Так как полученная передаточная функция не реализуется одним звеном, то разбиваем его на три
.
По результирующей ЛАЧХ корректирующего звена строится ЛАЧХ составляющих корректирующих звеньев :
; ; .
Выбор схемы корректирующих звеньев и определение значений входящих в нее элементов.
1. Рассмотрим для первого корректирующего звена с передаточной функцией
Числовые значения коэффициента передачи и постоянных времени звена должны быть , , . Определяем числовое значение емкости конденсатора C1, мкФ: .
Определяем значение сопротивления : .
В результате расчетов значения элементов корректирующей цепочки будут:
, , .
Определяем коэффициент передачи корректирующего звена, где 10 кОм,
Так как фактический коэффициент передачи полученного звена не совпадает с требуемым значением , то коэффициент передачи прямого тракта контура умножается на соответствующее значение , определяемое из условия , откуда .
2. Рассмотрим для второго корректирующего звена с передаточной функцией
.
Числовые значения коэффициента передачи и постоянных времени звена должны быть , , .Определяем числовое значение емкости конденсатора C1, мкФ: .
Определяем значение сопротивления : .
В результате расчетов значения элементов корректирующей цепочки будут:
, , .
Определяем коэффициент передачи корректирующего звена, где 10 кОм,
Так как фактический коэффициент передачи полученного звена не совпадает с требуемым значением , то коэффициент передачи прямого тракта контура умножается на соответствующее значение , определяемое из условия , откуда .
3. Рассмотрим для третьего корректирующего звена с передаточной функцией .
Числовые значения коэффициента передачи и постоянных времени звена должны быть , , . Определяем числовое значение емкости конденсатора C1, мкФ: .
Определяем значение сопротивления : .
В результате расчетов значения элементов корректирующей цепочки будут:
, , .
Определяем коэффициент передачи корректирующего звена, где 10 кОм,
Так как фактический коэффициент передачи полученного звена не совпадает с требуемым значением , то коэффициент передачи прямого тракта контура умножается на соответствующее значение , определяемое из условия , откуда .
VI.Определение показателей качества системы методом моделирования
Провести анализ показателей качества исходной и синтезированной систем.
Для линейной системы:
1) определить показатели качества переходного процесса исходной и синтезированной систем:
- контура напряжения (тока);
- контура скорости;
2) определить кинематическую ошибку в режиме изменения управляющего воздействия с постоянной скоростью.
В пояснительной записке дать распечатку графиков процессов по пп.1, 2
Для нелинейного контура напряжения (тока):
1) определить показатели качества переходного процесса синтезированного контура с нелинейным элементом;
2) определить параметры автоколебаний (если они имеют место).
В пояснительной записке дать распечатку графиков процессов по пп.1, 2
Исследование САУ рекомендуется выполнить в среде MATLAB с применением пакета визуального моделирования SIMULINK. Возможно также использование других систем для исследования САУ.
Рис.13.Схема исследования САУ выполненная в среде MATLAB.
Регулятор положения
Рис.14. Параметры регулятора положения, снятые с блока scope, построенной в среде MATLAB схемы
Регулятор скорости
Рис.15. Параметры регулятора скорости, снятые с блока scope, построенной в среде MATLAB схемы
Результат
Рис.16. Графические результаты моделирования в среде MATLAB.
Вывод: в результате синтезируемой системы перегулирование составило 10%, что соответствует данному значению. Время переходного процесса 0.040 с, соответствует данному времени 0.075 с.
Список литературы
1. Коновалов Б.И. Теория автоматического управления: Учебное пособие / Б.И. Коновалов, Ю.М. Лебедев. – СПб. Лань, 2010. – 224 с.
2. Мартяков А.И. Теория автоматического управления / А.И. Мартяков. – М. МГИУ, 2008. – 148 с.
3.Ощепков А.Ю. Системы автоматического управления: теория, применение, моделирование в MATLAB: Учебное пособие / А.Ю. Ощепков. – СПб. Лань, 2013. – 208 с.
4 . Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования, издание третье, исправленное. Москва, издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 2007
5. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 1. Линейные системы. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 288 с. - ISBN 5-9221-0379-2.
6. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. – 64 с. - ISBN 5-9221-0534-5.
7. Агравал Г.П. Системы автоматического управления: теория, применение, моделирование в MATLAB: Учебное пособие / Г.П. Агравал. – СПб Лань, 2013. – 208 с.
8. Гайдук А.Р. Теория автоматического управления в примерах и задачах с решениями в MATLAB: / А.Р. Гайдук, В.Е. Беляев и др. – СПб. Лань, 2011. – 464с.