Волновые свойства микрочастиц

2.1. Гипотеза де Бройля

Ранее мы отметили, что электромагнитное излучение (свет) обладает одновременно и волновыми и корпускулярными свойствами. В этом проявляется корпускулярно-волновой дуализм.

В 1924 г. Луи де Бройль выдвинул смелую гипотезу, что корпускулярно-волновой дуализм является особенностью не только электромагнитного излучения, но имеет универсальное значение. Он предположил, что любая микрочастица (а не только фотон) обладает корпускулярно-волновыми свойствами. Более того, де Бройль предположил, что связь между характеристиками микрочастицы как волны, так и корпускулы, такая же, как и у фотона. Для фотона, например, импульс (характеристика частицы) связан с длиной волны (характеристикой волны) соотношением

, откуда .

Согласно де Бройлю, любая микрочастица может характеризоваться длиной волны Оценим, например, величину для электрона, ускоренного полем с разностью потенциалов 25 В:

, откуда м/с;

Å,

т.е. такому электрону соответствует диапазон рентгеновских волн.

Если электроны действительно обладают волновыми свойствами, то они, согласно де Бройлю, должны вести себя подобно рентгеновским лучам. На этом основаны эксперименты, подтверждающие гипотезу де Бройля.

2.1. Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля.

Характерным проявлением волновых свойств рентгеновских лучей является их дифракция на кристаллической решетке (т.к. постоянная решетки сопоставима с длиной волны). Для дифракции рентгеновских лучей справедлива формула Вульфа-Бреггов - условие максимумов дифракционной картины (лучи, отраженные от одной плоскости решетки, усиливают лучи, отраженные от другой плоскости) (рис.5). Следовательно, и электроны должны дифрагировать на кристаллической решетке. Установили это экспериментально в 1927 г. К.Дж.Дэвиссон и Л.Х.Джермер. Схема одного из экспериментов была следующей (рис.6). В опыте угол выбирался постоянным, а длина волны менялась путем изменения ускоряющей разности потенциалов. Т.к. , а , то . Условие максимумов: , где = 1, 2, 3, … Отсюда максимум интенсивности регистрации электронов должен наблюдаться при . Экспериментальная зависимость подтвердила наличие волновых свойств у электронов, т.е. подтвердила гипотезу де Бройля (рис.7).

В опытах Дэвиссона-Джермера интенсивность электронных пучков была столь велика, что через кристалл одновременно проходило большое количество электронов. Быть может, дифракционная картина получилась в результате взаимодействия электронов между собой? В 1949 г. группа советских ученых под руководством В.Фабриканта осуществила опыт, в котором интенсивность электронного пучка была настолько слабой, что электроны проходили через кристалл заведомо поодиночке. Тем не менее, при достаточной экспозиции дифракционная картина ничем не отличалась от обычной. Таким образом, было доказано, что волновые свойства присущи отдельному электрону.

Явление дифракции электронов, а также других микрочастиц, таких как нейтроны, ионы, молекулы, на кристаллической решетке может быть использовано для изучения структуры кристаллов (электронография, нейтронография и др.).

2.2. Волна де Бройля. Волновой пакет.

Де Бройль связал свободно движущуюся частицу, обладающую энергией и импульсом , с некоторой волной . Если движение частицы одномерно, то ей можно сопоставить некоторую плоскую волну. В соответствии с формулой Эйлера ( ) ее можно представить в комплексной форме:

- волна де Бройля,

где , а , поэтому уравнение волны де Бройля можно записать через параметры частицы:

,

где - фаза волны.

Условие , позволяет определить положение постоянной фазы волны. Дифференцируя это соотношение по времени, получим , т.е. - это скорость распространения одинаковой фазы волны, так называемая фазовая скорость .

Плоская волна бесконечна в пространстве, что плохо ассоциируется с пространственно локализованной частицей. Поэтому Э.Шредингер предположил, что частицу следует связывать не с плоской волной, а с пакетом волн (или группой волн). Волновой пакет – это суперпозиция волн, мало отличающихся друг от друга по и по направлению распространения. У волнового пакета амплитуда отличается от нуля лишь в небольшой области пространства (рис.8). Причем, чем уже спектр, охватывающий пакет, т.е., чем меньше , при которых , тем больше пространство, в котором пакет локализован, т.е. тем больше .

Пусть в группе волн изменяется пределах или соответственно изменяется в пределах , где

<< 1 ( << 1). Предположим также, что каждому значению соответствует волна с амплитудой . В малом интервале значений вблизи функцию в окрестности можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами разложения

, где , ;

тогда результирующая волна, являющаяся суперпозицией волн, формирующих пакет, будет иметь вид:

Произведем замену переменных: ,

Из формул Эйлера

.

Тогда

.

Обозначив , получим

Это, по существу, волна с частотой и волновым числом , у которой модулирована амплитуда . Амплитуда пакета волн имеет максимум, когда

Следовательно координата максимума амплитуды, т.е. «центра тяжести», удовлетворяет соотношению . Отсюда скорость распространения «центра тяжести» пакета волн (а, следовательно, и энергии микрочастицы) будет определяться выражением

Величина называется групповой скоростью. (Сравним с фазовой скоростью ).

Учитывая, что полная энергия частицы определяется выражением , можно найти соответствующую ей групповую скорость:

Таким образом, групповая скорость равна скорости частицы.

Групповая скорость никогда не может превысить скорости света, тогда как фазовая скорость может быть больше скорости света, т.к. она не связана с переносом энергии.

2.4. Соотношение неопределенностей.

Волновой пакет имеет определенную пространственную протяженность. Оценим ее. В момент времени сделаем «мгновенную фотографию» пакета. Амплитуда пакета будет равна нулю в том случае, когда ( при ). Но при . Отсюда или , более точно . Это соотношение неопределенностей Гейзенберга.

Из соотношения неопределенностей следует, что, чем точнее задано значение импульса ( ), тем менее точно определена координата микрочастицы ( ) и наоборот. Как понимать это соотношение? Дело в том, что величины и - это характеристики частицы (макрообъекта). Микрочастица в силу своего корпускулярно-волнового дуализма не может быть строго описана характеристиками макрочастицы, - отсюда такая неопределенность значений и .

Рассматривая различные способы измерения положения и импульса частицы, Гейзенберг пришел к выводу о том, что условия, благоприятные для точного измерения координаты частицы (малая длина волны), неблагоприятны для точного измерения ее импульса (большая отдача при столкновении с фотоном), и наоборот.

Соотношение неопределенностей указывает, в какой мере можно пользоваться понятиями классической механики применительно к микрочастицам. Это соотношение является одним из фундаментальных положений квантовой механики.

Анализ выражения для волнового пакета позволяет получить еще одно важное соотношение. Оценим время , за которое волновой пакет переместится на (т.е. на половину своей ширины). Это соответствует значению (как было установлено ранее). Но в данном случае это соответствует условию , из которого следует, что . Это соотношение следует понимать следующим образом: чем меньше временная длительность волнового пакета , тем больший частотный интервал он охватывает. Умножив на , получим , точнее, - это то же соотношение неопределенностей для энергии и времени. Как его понимать? Чем дольше частица находится в данном состоянии ( ), тем меньше неопределенность ее энергии ( ).

Из соотношения неопределенностей Гейзенберга вытекает важное следствие:

.

Рассмотрим частицу с большей массой, приближающейся к величине, характерной для макрообъекта. Неопределенность координаты и скорости такой частицы будет меньше. Это соответствует случаю классической механики. Классическая механика – это предельный случай механики микрочастиц (квантовой механики) для массивных объектов. Значит, выражения, описывающие те или иные закономерности микрообъектов в пределе (при переходе к массивным объектам), должны переходить в обычные, классические выражения. В этом заключается одно из проявлений принципа соответствия, сформулированного Нильсом Бором в 1923 г.: «Всякая новая теория в физике должна сводиться к хорошо установленной классической теории, если эта теория прилагается к специальным случаям, которые успешно описываются менее общей теорией».

2.5. Статистическое толкование волновых функций.

Волновой процесс, соответствующий состоянию микрообъекта, может быть описан плоской монохроматической волной де Бройля только в случае свободного движения частицы, обладающей определенной энергией и импульсом . Функция, которая описывает волновой процесс в общем случае (произвольное движение частицы в произвольных полях), является весьма сложной. Она зависит от координат и времени, и называется волновой функцией или пси-функцией - .

Физический смысл волн, связанных по идее де Бройля с движением микрочастиц, был раскрыт не сразу. Первоначально делались попытки рассматривать сами частицы как образования из волн (т.е., по существу, сводить корпускулярные свойства к волновым). Это понимание волн де Бройля фактически было классическим и не смогло отобразить многообразие свойств микрочастиц. Кроме того, если среда, в которой распространяется пакет волн, обладает дисперсией (т.е. ), то волновой пакет со временем расплывается, в то время как микрочастица – это устойчивое образование.

Статистическое толкование волн де Бройля следует из интерпретации волновых функций, которая была дана Максом Борном в 1926 г. Согласно М.Борну, квадрат модуля волновой функции в какой-либо точке пространства определяет плотность вероятности локализации микрочастицы в этой точке.

Вероятность того, что частица будет локализована в пределах элементарного объема в окрестности точки с координатами в момент времени , в соответствии с трактовкой Борна может быть определена как

.

(Отсюда следует, в частности, что - это плотность вероятности). Поскольку вероятность локализации частицы во всем объеме равна единице, то

.

Следовательно, - функция должна удовлетворять этому условию, называемому условием нормировки. Пси-функции, удовлетворяющие условию нормировки, называются нормированными.

Из смысла пси-функции следует, что, невозможно точно определить локализацию (местоположение) микрочастицы или траекторию ее движения. Возможно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть локализована в различных точках пространства. В этом проявляется своеобразие микромира.

2.6. Операторы в квантовой механике.

Математический аппарат квантовой механики существенно отличается от математического аппарата классической механики. Это отличие связано с тем, что необходимо учитывать особенности поведения микрочастиц (например, их волновые свойства). В квантовой механике для определения физических величин (координаты, импульса, момента импульса, энергии) используют математические операторы. Под оператором понимают символическое обозначение математической операции, которую необходимо совершить с данной функцией. Действие оператора обозначается так:

.

Примерами операторов могут служить: умножение функции на ( ) или на какую-либо функцию, дифференцирование по ( или ) и т.д.

Свойства операторов.

Если для любой функции , то оператор называется суммой (разностью) операторов.

Произведением операторов называется оператор , результат действия которого на любую функцию будет:

.

Сложение, вычитание и умножение операторов происходит по обычным алгебраическим правилам. Однако не всегда . Если это правило выполняется, то операторы называются коммутирующими. Если , то и - некоммутирующие операторы. Примером некоммутирующих операторов являются операторы и . Легко убедиться в том, что .

Оператор называется линейным, если для двух любых функций и и постоянных и выполняется условие:

.

В квантовой механике применяются только линейные операторы. В противном случае нарушается принцип суперпозиции.

Средние значения физических величин.

Определим среднее значение координаты частицы, состояние которой характеризуется волновой функцией :

,

где - вероятность локализации частицы в интервале . Функция всюду конечна, отлична от нуля в ограниченной области и нормирована к единице, т.е. удовлетворяет условию

.

Среднее значение можно записать в виде

Среднее значение функции определяется по формуле

,

где рассматривается как оператор.

Среднее значение проекции момента импульса частицы, состояние которой задается пси-функцией , можно найти следующим образом:

.

Операторы некоторых физических величин.

Операторы координаты и импульса являются основными в квантовой механике.

Оператор координаты есть само число : .

Представление о том, какой вид имеет оператор , можно получить на примере анализа пси-функции для свободно движущейся микрочастицы:

;

.

Откуда

.

Из этого выражения видно, что . По аналогии можно записать: , .

Чтобы найти операторы других физических величин, можно воспользоваться формулами классической физики. Например, справедливое в классической физике соотношение

позволяет определить оператор :

.

В результате

,

где - оператор Лапласа.

Оператор вектора импульса:

,

где - оператор набла.

Оператор момента импульса:

, где .

Зная оператор момента импульса, можно определить операторы проекций момента импульса:

, , .

Оператор кинетической энергии:

.

Оператор потенциальной энергии – это сама потенциальная энергия, т.к. потенциальная энергия является функцией координат частицы:

.

Гамильтониан – оператор полной энергии:

.

Следует заметить, что это равенство не эквивалентно выражению для полной энергии частицы , т.к. невозможно одновременно точно определить кинетическую и потенциальную энергии (в силу соотношения неопределенностей). Но можно показать, что среднее значение полной энергии является суммой средних значений кинетической и потенциальной энергий: