Модель обслуживания машинного парка

Модель обслуживания машинного парка представляет собой модель замкнутой системы массового обслуживания.

До сих пор мы рассматривали только такие системы массового обслуживания, для которых интенсивность λ входящего потока за­явок не зависит от состояния системы. В этом случае источник за­явок является внешним по отношению к СМО и генерирует нео­граниченный поток требований. Рассмотрим системы массового обслуживания, для которых λ зависит от состояния системы, при­чем источник требований является внутренним и генерирует огра­ниченный поток заявок.

Например, обслуживается машинный парк, состоящий из N машин, бригадой R механиков (N > R), причем каждая машина мо­жет обслуживаться только одним механиком. Здесь машины явля­ются источниками требований (заявок на обслуживание), а меха­ники - обслуживающими каналами. Неисправная машина после обслуживания используется по своему прямому назначению и ста­новится потенциальным источником возникновения требований на обслуживание. Очевидно, что интенсивность λ зависит от того, сколько машин в данный момент находится в эксплуатации (N - к) и сколько машин обслуживается или стоит в очереди, ожи­дая обслуживания (к).

В рассматриваемой модели емкость источника требований сле­дует считать ограниченной. Входящий поток требований исходит из ограниченного числа эксплуатируемых машин (N - к), которые в случайные моменты времени выходят из строя и требуют обслу­живания. При этом каждая машина из (N - к) находится в эксплу­атации. Генерирует пуассоновский поток требований с интенсивностью λ независимо от других объектов; общий (суммарный) входящий поток имеет интенсивность (N — к) . λ. Требование, посту­пившее в систему в момент, когда свободен хотя бы один канал, немедленно идет на обслуживание. Если требование застает все ка­налы занятыми обслуживанием других требований, то оно не по­кидает систему, а становится в очередь и ждет, пока один из кана­лов не станет свободным.

Таким образом, в замкнутой системе массового обслуживания входящий поток требований формируется из выходящего.

Состояние S_k системы характеризуется общим числом требова­ний, находящихся на обслуживании и в очереди, равным к. Для рассматриваемой замкнутой системы, очевидно, к = 0, 1,2, .... N. При этом, если система находится в состоянии S_k, то число объек­тов, находящихся в эксплуатации, равно (N - к).

Если λ - интенсивность потока требований в расчете на одну машину, то

Система алгебраических уравнений, описывающих работу за­мкнутой СМО в стационарном режиме, выглядит следующим образом:

(40)

Решая данную систему, находим вероятность k-го состояния:

(41)

Величина P₀определяется из условия нормирования полученных результатов по формулам (41) для Р_k, к = 1, 2,...,N.

Определим следующие вероятностные характеристики системы:

среднее число требований в очереди на обслуживание

среднее число требований, находящихся в системе (на обслу­живании и в очереди)

среднее число механиков (каналов), простаивающих из-за от­сутствия работы

коэффициент простоя обслуживаемого объекта (машины) в очереди

коэффициент использования объектов (машин)

коэффициент простоя обслуживающих каналов (механиков)

среднее время ожидания обслуживания (время ожидания об­служивания в очереди)

Пример 6. Пусть для обслуживания десяти персональных компьютеров (ПК) выделено два инженера одинаковой производи­тельности. Поток отказов (неисправностей) одного компьютера -пуассоновский с интенсивностью λ= 0,2. Время обслуживания ПК подчиняется показательному закону. Среднее время обслуживания одного ПК одним инженером составляет: =1,25 час.

Возможны следующие варианты организации обслуживания ПК:

• оба инженера обслуживают все десять компьютеров, так что при отказе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 2, N = 10;

• каждый из двух инженеров обслуживает по пять закреплен­ных за ним ПК. В этом случае R = 1, N = 5.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслу­живания ПК.

Решение

1. Вычислим параметр обслуживания

.

2. Приведенная интенсивность

ρ = λ/μ = 0,2/0,8 = 0,25,

3. Вычислим вероятностные характеристики СМО для двух ва­риантов организации обслуживания ПК.

Вариант 1

• Определим вероятности состояний системы:

• Учитывая, что , и используя результаты расчета Р_к, ВЫЧИСЛИМ P₀:

Откуда Р₀ = 0,065,

тогда

Определим среднее число компьютеров в очереди на обслу­живание:

Определим среднее число ПК, находящихся в системе (на об­служивании и в очереди):

Определим среднее число инженеров, простаивающих из-за от­сутствия работы:

Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди следующий:

Коэффициент использования компьютеров определяется по формуле

Коэффициент простоя обслуживающих инженеров рассчитыва­ется так:

Среднее время ожидания ПК обслуживания

Вариант 2

Определим вероятности состояний системы:

Откуда P₀ = 0,199,

Тогда

Среднее число компьютеров в очереди на обслуживание таково:

Среднее число компьютеров, находящихся на обслуживании и в очереди, рассчитывается так:

Среднее число инженеров, простаивающих из-за отсутствия работы:

Коэффициент простоя персонального компьютера в очереди:

Коэффициент использования компьютеров:

Коэффициент простоя обслуживающих инженеров:

Среднее время ожидания ПК обслуживания:

Сведем полученные результаты по двум вариантам в следую­щую таблицу:

Итоговые вероятностные характеристики	Варианты
1	2
α1 α2 α3 Wq, час.	0,142 0,689 0,146 1,01	0,199 0,64 0,199 1,56

Таким образом, в варианте 1 каждый компьютер стоит в очере­ди в ожидании начала его обслуживания приблизительно 0,142 ча­сти рабочего времени, что меньше этого показателя при варианте 2 организации работ. Далее в варианте 1 вероятность того, что ПК в любой момент времени будет работать выше, чем в варианте 2, и равна ¹₂ = 0,689 > ²₂ = 0,64. Очевидно, вариант 1 организации работ по обслуживанию ПК эффективнее, чем вариант 2.

Задачи

1. Одноканальная СМО с отказами представляет собой одну телефонную линию. Заявка (вызов), пришедшая в момент, когда линия занята, получает отказ. Все потоки событий простейшие. Интенсивность потока 𝝀= 0,95 вызова в минуту. Средняя продол­жительность разговора = 1 мин.

Определите вероятностные характеристики СМО в установив­шемся режиме работы.

2. В одноканальную СМО с отказами поступает простейший по­ток заявок с интенсивностью 𝝀=0,5 заявки в минуту. Время обслу­живания заявки имеет показательное распределение с =1,5 мин.

Определите вероятностные характеристики СМО в установив­шемся режиме работы.

3. В вычислительном центре работает 5 персональных ком­пьютеров (ПК). Простейший поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность 𝝀 = 10 задач в час. Среднее время решения задачи равно 12 мин. Заявка получает отказ, если все ПК заняты.

Найдите вероятностные характеристики системы обслужива­ния (ВЦ).

4. В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью 𝝀 = 1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в среднем трем дням. Аудиторская фирма располагает пятью незави­симыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (об­служивание заявок). Очередь заявок не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована.

Определите вероятностные характеристики аудиторской фирмы как системы массового обслуживания, работающей в стационар­ном режиме.

5. На пункт техосмотра поступает простейший поток заявок (автомобилей) интенсивности 𝝀 = 4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может находиться не более 5 автомобилей.

Определите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.

6. Используйте условия задачи 3.5 (𝝀= 4; =17 мин.). Одна­ко ограничения на очередь сняты.

Вычислите вероятностные характеристики пункта техосмотра в установившемся режиме.

Определите, эффективно ли снятие ограничения на длину оче­реди.

7. На промышленном предприятии решается вопрос о том, сколько потребуется механиков для работы в ремонтном цехе. Пусть предприятие имеет 10 машин, требующих ремонта с учетом числа ремонтирующихся. Отказы машин происходят с частотой 𝝀 = 10 отк/час. Для устранения неисправности механику требуется в сред­нем = 3 мин. Распределение моментов возникновения отказов является пуассоновским, а продолжительность выполнения ре­монтных работ распределена экспоненциально. Возможно органи­зовать 4 или 6 рабочих мест в цехе для механиков предприятия.

Необходимо выбрать наиболее эффективный вариант обеспече­ния ремонтного цеха рабочими местами для механиков.

8. В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, каждый из которых может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. По­ток сотрудников, получающих заработную плату, - простейший, с интенсивностью, равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Время об­служивания подчинено экспоненциальному закону распределения.

Вычислите вероятностные характеристики СМО в стационар­ном режиме и определите целесообразность приема третьего касси­ра на предприятие, работающего с такой же производительностью, как и первые два.

9. В инструментальном отделении сборочного цеха работают три кладовщика. В среднем за 1 мин. за инструментом приходят 0,8 рабочего (𝝀 = 0,8). Обслуживание одного рабочего занимает у кла­довщика = 1,0 мин. Очередь не имеет ограничения. Известно, что поток рабочих за инструментом - пуассоновский, а время обслужи­вания подчинено экспоненциальному закону распределения. Стои­мость 1 мин. работы рабочего равна 30 д. е., а кладовщика - 15 д. е.

Найдите средние потери цеха при данной организации обслу­живания в инструментальном отделении (стоимость простоя) при стационарном режиме работы.

10. Билетная касса работает без перерыва. Билеты продает один кассир. Среднее время обслуживания - 2 мин. на каждого че­ловека. Среднее число пассажиров, желающих приобрести билеты и кассе в течение одного часа, равно 𝝀= 20 пасс/час. Все потоки в системе простейшие.

Определите среднюю длину очереди, вероятность простоя кассира, среднее время нахождения пассажира в билетной кассе (в очереди и на обслуживании), среднее время ожидания в очереди в условиях стационарного режима работы кассы.

11. Пост диагностики автомобилей представляет собой одноканальную СМО с отказами. Заявка на диагностику, поступившая в момент, когда пост занят, получает отказ. Интенсивность потока заявок на диагностику 𝝀 =0,5 автомобиля в час. Средняя продол­жительность диагностики =1,2 ч. Все потоки событий в системе простейшие.

Определите в установившемся режиме вероятностные характе­ристики системы.

12. Используйте условия задачи 3.11 (𝝀 = 0,5; = 1,2 час). Однако вместо одноканальной СМО (n=1) рассматривается трехканальная (n= 3), т. е. число постов диагностики автомобилей уве­личено до трех.

Найдите вероятностные характеристики СМО в установившем­ся режиме.

13. Автозаправочная станция представляет собой СМО с од­ним каналом обслуживания и одной колонкой. Площадка при АЗС допускает пребывание в очереди на заправку не более трех автомо­билей одновременно. Если в очереди уже находится три автомоби­ля, очередной автомобиль, прибывший к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток автомобилей, прибывающих для заправки, имеет интенсивность 𝝀= 0,7 автомобиля в минуту. Процесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Все потоки простейшие.

Определите вероятностные характеристики СМО в стационар­ном режиме.

14. Используйте условия задачи 3.13. Однако ограничения на длину очереди сняты.

Найдите вероятностные характеристики СМО в стационарном режиме.

Определите, выгодно ли в данной ситуации снятие ограничения на длину очереди в предположении, что дополнительных финансо­вых ресурсов не требуется для расширения площадки при АЗС.

15. На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью 𝝀 = 2 состава в час. Среднее время, в те­чение которого горка обслуживает состав, равно 0,4 час. Составы, прибывающие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеется три запасных пути, на каждом из которых может ожидать один состав. Состав, прибывший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия за­няты, становится в очередь на внешний путь. Все потоки событий простейшие.

При установившемся режиме найдите:

среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке прибытия, так и вне его);

среднее время ожидания в парке прибытия и на внешних пу­тях;

среднее время ожидания состава в системе обслуживания; вероятность того, что прибывший состав займет место на внеш­них путях.

16. Рассматривается работа АЗС, на которой имеются три за­правочные колонки. Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нужда­ющаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь на заправку, дожидаются своей очереди. Все потоки в системе простейшие.

Определите вероятностные характеристики работы АЗС в ста­ционарном режиме.

17. На станцию технического обслуживания (СТО) автомоби­лей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет 6 постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожидающих обслуживания, не ограничена. Среднее время обслуживания одной машины - 2 часа. Все потоки в системе простейшие.

Определите вероятностные характеристики станции техничес­кого обслуживания автомобилей.

18. Используйте условия задачи 17, однако на СТО нет воз­можности организовать стоянку для автомобилей, ожидающих обслуживания. Каждый автомобиль, прибывающий в момент, когда все посты заняты, получает отказ в обслуживании.

Определите вероятностные характеристики СТО автомобилей.

19. В вычислительном центре работают 9 персональных ком­пьютеров (ПК). Простейший поток неисправностей имеет ин­тенсивность 0,3 отказа в день. Среднее время устранения одной не­исправности одним инженером равно 1,5 час. Компьютеры обслу­живают три инженера с одинаковой производительностью. Все по­токи событий простейшие. Возможны следующие варианты орга­низации обслуживания ПК:

три инженера обслуживают все 9 компьютеров, так что при от­казе ПК его обслуживает один из свободных инженеров, в этом случае R = 3; N = 9;

каждый из трех инженеров обслуживает по три закрепленных за ним ПК. В этом случае R = 1; N = 3.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслу­живания ПК.

20.Малое транспортное предприятие эксплуатирует десять моделей автомобилей одной марки. Простейший поток отказов ав­томобилей имеет интенсивность 𝝀= 0,25 отказа в день. Среднее время устранения одного отказа автомобиля одним механиком рав­но 2 час. Все потоки событий простейшие. Возможны два вариан­та обслуживания:

все автомобили обслуживают два механика с одинаковой про­изводительностью;

все автомобили предприятия обслуживают три механика с оди­наковой производительностью.

Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслу­живания автомобилей.

21. На вход телефонной станции, имеющей 9 каналов обслу­живания, поступает в среднем 120 заявок в час. Заявка получает от­каз, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в одном канале равно 4 мин. Все потоки в системе простейшие.

Определите вероятностные характеристики телефонной стан­ции, выступающей в качестве СМО.

22. В магазине работает один продавец, который может об­служить в среднем 30 покупателей в час. Поток покупателей про­стейший с интенсивностью, равной 60 покупателям в час. Все по­купатели «нетерпеливые» и уходят, если в очереди стоит 5 человек (помимо обслуживаемых). Все потоки событий простейшие.

Определите следующие вероятностные характеристики магази­на для стационарного режима работы:

вероятность обслуживания покупателя;

абсолютную пропускную способность магазина;

среднюю длину очереди; среднее время ожидания в очереди;

среднее время всего обслуживания;

вероятность простоя продавца.

23. Рассматривается работа АЗС, на которой имеется пять заправочных колонок. Заправка одной машины длится в среднем мин. В среднем на АЗС каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензином. Число мест в очереди не ограничено. Все машины, вставшие в очередь, дожидаются своей очереди. Все потоки событий простейшие.

Определите вероятностные характеристики АЗС для стационарного режима.

24. Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью 𝝀 = 3 заявки в час. Среднее время обслуживания одной заявки = 0,5 час. Каж­дая обслуженная заявка приносит доход 5 д. е. Содержание канала обходится 3 д. е./час.

Решите, выгодно ли в экономическом отношении увеличить число каналов СМО до трех.

25. Подсчитайте вероятностные характеристики для простей­шей одноканальной СМО с тремя местами в очереди при условиях 𝝀= 4 заявки/час; = 0,5 час.

Выясните, как эти характеристики изменятся, если увеличить число мест в очереди до четырех.

26. Как изменятся характеристики эффективности СМО в за­даче 3.25, если 𝝀 и µ остаются прежними, а ограничение на число мест в очереди снято.

27. Одноканальная СМО - ЭВМ, на которую поступают за­явки (требования на расчеты). Поток заявок простейший со сред­ним интервалом между заявками / = 10 мин. Время обслуживания распределено по экспоненциальному закону с математическим ожиданием = 8 мин.

Определите среднее число заявок в СМО, среднее число заявок в очереди, среднее время пребывания заявки в системе и в очереди.

28. Система массового обслуживания - билетная касса с тре­мя окошками (с тремя кассирами) и неограниченной очередью. Пассажиров, желающих купить билет, приходит в среднем 5 чело­век за 20 мин. Поток пассажиров можно считать простейшим. Кас­сир в среднем обслуживает трех пассажиров за 10 мин. Время об­служивания подчинено показательному закону распределения.

Определите вероятностные характеристики СМО в стационар­ном режиме.

29. Технические устройства (ТУ) могут время от времени вы­ходить из строя (отказывать). Поток отказов ТУ простейший с ин­тенсивностью 𝝀= 1,6 отказа в сутки. Время восстановления ТУ имеет экспоненциальное распределение. Математическое ожидание времени обслуживания = 0,5 суток. Количество каналов, выпол­няющих обслуживание ТУ, равно 5 ед. Количество заявок в очере­ди не ограничено.

Определите вероятностные характеристики СМО, выполняю­щие обслуживание ТУ в установившемся режиме.

30. Как изменятся вероятностные характеристики СМО зада­чи 3.29, если 𝝀 и µ остаются прежними, но число каналов обслу­живания уменьшится до двух?