Потенциальный барьер конечной ширины

ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

6.49 Потенциальный барьер конечной ширины___________________________________

[U₀ — высота потенциального барьера; Е — полная энергия частицы; m — масса частицы]

6.50 Энергия частицы больше высоты потенциального барьера_____________________

[k_1,3 = и k₂ = — волновые числа; λ _{1, 3} и λ₂ — соответственно длины волн де Бройля в областях 1, 3 и 2]

Общие решения уравнений Шредингера___________________________________________

В области 3 имеется только прошедшая барьер волна, поэтому коэффициент В₃ принят равным нулю.

♦ соответствует плоской волне, распространяющейся в положительном направлении оси х (падающей волне), е ^-ikx— отраженной волне. О волнах может идти речь после умножения на временной множитель, так как Ψ— координатная часть волновой функции.

Возможное определение коэффициентов отражения и прозрачности

Вывод.В случае Е >U₀ волна на границе 1 и 2 частично отражается ( и частично проходит в область 2, затем она опять на границе 2 и 3 частично отражается ( ) и частично проходит в область 3. В облас­ти 2 (см. рисунок 6.50) длина волны де Бройля больше, чем в областях 1 и З.

Итак, при E > U₀ имеем k_1,3 > k₂ и λ₂ > λ_1,3

Энергия частицы

меньше высоты потенциального барьера (Е < U₀)_____________________________

Уравнение Шредингера_________________________________________________________

Общие решения уравнений Шредингера__________________________________________

В области 2 решение Ψ₂ (х) не соответствует плоским волнам, распространяющимся в обе стороны (показатели экспонент не мнимые, а действительные).

♦ В области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо, поэтому принято В₃ = 0. Из условий непрерывности волновой функции и ее первой производной в точках х = 0 и х = можно найти коэффициенты А₂ и В₂. Можно показать, что для высокого и широкого барьера »1) В₂ » А₂, а тогда на границе потенциального барьера, где х = 0, опреде ляющим членом волновой функции Ψ₂ является член, содержащий В₂ .

Вывод.В случае Е < U₀, согласно квантовой механике, микрочастица может «пройти» сквозь потенциальный барьер. Это специфическое квантовое явление получило название туннельного эффекта.

6.53 Туннельный эффект________________________________________________________________

Волновые функции в областях 1, 2 и 3_________________________________________________

6.52

Выводы.Волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид волн де Бройля с тем же импульсом, т. е. с той же частотой, но с меньшей амплитудой. Следовательно, частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь по­тенциальный барьер конечной ширины — наблюдается туннельный эффект.

6.54 Коэффициент прозрачности для прямоугольного барьера______________________

Коэффициент прозрачности (вероятность проникновения

сквозь потенциальный барьер конечной ширины)___________________________

D быстро убывает с увеличением ширины барьера, а также с ростом его высоты.

[U₀ — высота потенциального барьера; Е — энергия частицы; — ширина прямо­угольного барьера; т — масса частицы; — постоянная Планка; D₀ — по­стоянный множитель, который, как показывают точные расчеты, не очень отли­чается от единицы]

6.55 Коэффициент прозрачности для барьера произвольной формы____ ___________

Эта формула — хорошее приближение в случае потенциального барьера произволь­ной формы, если барьер удовлетворяет ус­ловию квазиклассического приближения (достаточно гладкая форма кривой).

♦ Эта формула — обобщение формулы для D в случае прямоугольного барьера.

6.56 Выводы относительно поведения классической

и квантовой частиц_______________________________________________________

При Е < U₀ по классической теории частицы не смогут преодолеть потен­циального барьера и отразятся от него; согласно квантовой теории, часть частиц отражается, а часть имеет отличную от нуля вероятность пройти сквозь потенциальный барьер. При Е > U₀,по классической теории все частицы преодолевают потенциальный барьер; согласно квантовой тео­рии, часть частиц проходит, а часть отражается. Как подбаръерное про­хождение, так и надбарьерное отражение являются специфическими квантовыми эффектами, связанными с волновыми свойствами частиц.