Падение частицы на потенциальный барьер

Рассмотрим движение частицы вдоль оси х в консервативном силовом поле, описываемом следующей зависимостью потенциальной энергии U от координаты х:

0 при x (- ∞, 0),

U(x) = U₀ при x (0, + ∞),

U₀ U = U (x) x = 0, + ∞

E < U₀ x < ∞ при х (-∞, 0), U_o при х (0, + ∞), (20.43)

где U_о ~ положительная постоянная, называемая "высотой" потенци­ального барьера. График зависимости (20.43) приведен на рис. 20.7. Эту зависимость следует рассматривать как идеализацию зависимости U = U(x), график которой изображен на рис. 20.2. Производная функ­ции (20.43) всюду на оси х, за исключением точки х = 0, равна нулю. В точке х = 0 производная этой функции равна +∞. Из этого следует, что при движении частицы вдоль оси х только на узком интервале в окрест­ности точки х = 0 на нее будет действовать сила, которая направлена в сторону, противоположную оси х.

Рис. 20.7. Потенциальный барьер

Пусть на потенциальный барьер падает однородный поток частиц, дви­жущихся слева направо.

случай Е < Uо

Рассмотрим случай, когда энергия Е каждой из падающих на барьер частиц меньше высоты U_o барьера:

Е < Uо .

В области перед барьером, где х < 0, потенциальная энергия частицы

равна нулю и уравнение (20.23) можно записать так:

при x < 0.

Здесь

.

Общее решение уравнения (20.44) имеет вид

при х < 0 .

где А и В - постоянные интегрирования. Таким образом, в области, где х < 0, волновая функция ψ = ψ(t,x) будет представлять собой сумму (20.7) двух волн, одна из которых

ψ₊ (t, x) бежит направо, т.е. падает на барьер, а другая ψ_- (t, x) - налево, т.е. отражается от барьера.

В области, где х > 0, потенциальная энергия U равна U_o. Для этих значений х уравнение (20.23) можно привести к виду

при x > 0. (20.47)

Здесь

(20.48)

Общее решение уравнения (20.47) имеет вид

где С и D - постоянные. Коэффициент D следует положить равным нулю, так как в противном случае функция φ (x) будет неограниченно возрастать при x → ∞, что лишено физического смысла. Итак, волновая функция

при x < 0,

φ(x) = Ce^-λx при x > 0. (20.49)

Эта функция и ее производная непрерывны всюду, кроме точки х = 0, в которой они также должны быть непрерывны:

φ(-0) = φ (+0),

φ^/(-0) = φ^/ (+0). (20.50)

Подстановка выражений (20.49) в эти условия приводит к системе урав­нений

A + B = C,

ik(A – B) = - λC.

разрешив которые относительно В и С, получим формулы

Теперь функцию (20.49) можно записать так:

при x ≤ 0,

φ (x) =

при x > 0.

При помощи формулы Эйлера

e^ia = cos α +isin α

функцию φ(x) при x <0 нетрудно преобразовать к виду

φ(x) = 2Ae^-iβ cos (kx + β),

где _п

β = arctg .

Используя полученные выражения для функции φ(x), построим график зависимости от координаты х концентрации частиц в потоках, падающих на потенциальный барьер, отраженных от него и преодолевших его:

n(x) = |φ (x)|².

График этой зависимости показан на рис. 20.8.

n = |φ|²

0 х

Рис. 20.8. Интерференция волновых функций и туннельный эффект

Рис. 20.8. Интерференция волновых функций и туннельный эффект

'Зависимость n = n(x) на рис. 20.8 демонстрирует существенное раз­личие в движениях потоков частиц по законам классической механики и по законам механики квантовой. Согласно законам классической меха­ники концентрации частиц, падающих и отраженных от потенциального барьера в области х < 0 всюду одинаковы; а в области x > 0 концентра­ция частиц должна быть равна нулю при условии, что энергия частицы Е меньше высоты U_o потенциального барьера. Как видно из графика на рис. 20.8, вследствие интерференции волн ψ₊ (t, x) и ψ_- (t, x), падающей на барьер и отраженной им, концентрация частиц в области х < 0 пери­одически изменяется. Волновые свойства частиц проявляются также в том, что их концентрация в области

х > 0 не равна нулю. Эти свойства микрочастиц позволяют им проникать в те области пространства, где их присутствие запрещено законами классической механики. Это явление называют туннельным эффектом.

В области за барьером волновая функция ψ имеет вид.

ψ(t,x) = Ce^-iωt-λx

Эта функция - не бегущая волна. Она описывает неподвижное "облако" частиц, средняя скорость которых равна нулю.

В области х > 0 концентрация частиц убывает по закону

n(x) = n(0)e^-2λx

Согласно этой формуле на расстоянии d = λ^-1 от барьера, т.е. места, где на частицы действует тормозящая их движение сила, концентрация частиц имеет значение

n(d) = n(0)e^-2 ≈ n(0).

называют глубиной проникновения частиц за барьер. Из этой формулы видно, что глубина d тем больше, чем меньше разность U_o - Е. Когда энергия частицы будет больше или равна высоте барьера, глубина про­никновения d станет бесконечно большой.

Интересно рассмотреть предельный случай, когда высота барьера U_o стремится к бесконечности. При этом будет неограниченно возрастать сила, которая тормозит движение частиц в окрестности точки х = 0. Очевидно, что в предельном случае бесконечно высокого барьера части­цы не смогут его преодолеть и их концентрация за барьером будет равна

нулю. В самом деле, при U_o → ∞ величина λ, определяемая формулой (20.48), также стремится к бесконечности. При этом предельная волно­вая функция будет

A (e^ikx – e^-ikx) = 2 i A sin kx при x < 0

φ(x) =

0 при x > 0

Случай E>U₀.

Рассмотрим теперь падение на барьер потока частиц, которые летят из - ∞ и энергия Е каждой из которых больше высоты барьера U_o

E>U₀.

В этом случае уравнение (20.23) при х > 0 следует записать так:

φ^// + φ = 0 при x > 0. (20.51)

Здесь

(20.52)

Общее решение уравнения(20.23) имеет вид:

Где С и D - постоянные интегрирования. Первое слагаемое в этой сумме описывает волну, бегущую направо от барьера, а второе - волну, бегущую в противоположную сторону из + оо. По смыслу рассматриваемой задачи в области за барьером, где х > 0, может существовать только первая волна, описывающая поток частиц, преодолевших действие тормозящей силы. Поэтому коэффициент D следует положить равным нулю. Итак, в случае, когда Е > U_o, волновая функция будет

при x < 0,

φ(x) = при x > 0. (20.53)

Условия (20.50) непрерывности функции <р(х) и ее производной приводят
к уравнениям

A + B = C,

ik(A – B) = ,

Из этих уравнений найдем амплитуды отраженной от барьера и прошед­шей за него волн:

Произведение концентрации п частиц в потоке на их скорость v есть число частиц, пересекающих за единицу времени единичную площадку, перпендикулярную к траекториям частиц. Очевидно, что произведение п v для потока частиц, падающих на барьер, равно сумме таких произве­дений для потоков отраженных от барьера частиц и частиц, прошедших за барьер:

( nv )_naд = ( nv)_omp + ( nv )_npoш .

Концентрация частиц в однородных потоках равна квадрату амплиту­ды волны, а скорость частицы связана с импульсом и волновым числом

Соотношениями

Таким образом, приходим к равенству

| A |²k = | B |²k + | C |² , (20.55)

которое выражает закон сохранения числа частиц.

Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волн

(20.56)

есть доля частиц, отраженных от барьера, или вероятность отражения от него одной из падающих частиц. Величину R называют коэффициен­том отражения. С учетом формул (20.54) его можно выразить через волновые числа k и :

Отметим, что в случае, когда Е < U_o, коэффициент отражения равен единице:

Отношение

есть доля частиц, прошедших за барьер, или вероятность проникновения за барьер одной из падающих на него частиц. Это отношение называют коэффициентом прохождения. В силу закона сохранения числа частиц (20.55) коэффициенты R и D связаны соотношением

R + D = 1.

При Е > Uо с учетом формул (20.54) будем иметь

где параметр

т.е. отношение волновых чисел, при помощи формул (20.45) и (20.52) можно представить как функцию от энергии частицы:

Нетрудно видеть, при изменении энергии частицы Е от значения U_o до + ∞ параметр ηмонотонно возрастает от нуля до единицы. При этом коэффициент прохождения D также монотонно возрастает от нуля до единицы.

В случае, когда энергия Е падающей на потенциальный барьер части­цы больше его высоты U_o, классическая и квантовая теории также пред­сказывают различное поведение частиц после действия на них тормозя­щей силы. Согласно законам классической механики частица с энергией Е > Uо преодолевает участок пути, где на нее действует тормозящая ее движение сила, и летит дальше. Поэтому все частицы в потоке, па­дающем на барьер, должны были бы пройти через него и удалиться на бесконечность. Однако так не происходит. Квантовая механика предска­зывает, что часть R падающих на барьер частиц будет отброшена назад, как бы велика ни была энергия частицы Е. Этот эффект(20.57)

также есть проявление волновых свойств частиц.

Некоторые выводы классической и квантовой теорий совпадают. Рас­смотрим один из таких выводов. Импульсы р и частицы до и после прохождения барьера связаны с волновыми числами соотношениями де Бройля:

p = ħk , p = ħ .

При помощи формул (20.45) и (20.52) получим равенство

U = U(x)

которое выражает собой закон сохранения энергии.

Рассмотрим теперь движение частиц в силовом поле, которое харак­теризуется зависимостью U=U(х) потенциальной энергии частицы от координаты х, изображенной графически на рис. 20.9.

Рис. 20.9. Потенциальный барьер прямоугольной формы

Такая зависи­мость означает, что в окрестности точки х = 0 на частицу действует сила, направленная против оси х, а в окрестности точки x = l - сила, направленная в ту же сторону, что ось х.

Пусть энергия частиц Е меньше высоты U_o потенциального барьера: Е < U₀. В этом случае волновая функция φ = φ(x) слева и справа от барьера, т.е. при x (-∞, 0) U(l, +∞), будет удовлетворять уравне­нию (20.44); а внутри барьера, т.е. при x (0, l ), - уравнению (20.47). Если поток частиц падает на барьер слева направо, то волновая функция должна иметь вид

Ae^ikx + Be^-ikx при x (- ∞, 0),

φ(x) = ae^λx + be^-λx при x (0, l ),

Ce^ikx при x ( l , + ∞ ).

Эта функция должна удовлетворять граничным условиям

φ( - 0) = φ( + 0),

φ^/( - 0) = φ^/( + 0),

φ(l - 0) = φ(l + 0),

φ^/(l – 0) = φ^/(l + 0).

согласно которым волновая функция и ее производная должны быть непрерывны в точках x = 0 и x = l. Эти условия приводят к равенствам

A + B = a + b,

ik(A – B) = λ(a – b),

ae^λl + be^-λl = Ce^ikl,

λ(ae^λl – be^-λl) = ikCe^ikl.

Умножим первое уравнение на ik и сложим со вторым, третье также умножим на ik и вычтем из него четвертое. Придем к системе уравнений

λ + ik)a – (λ – ik)b = 2ikA,

(λ – ik)ae^λl – (λ + ik)be^-λl = 0,

которыеразрешим относительно а и b:

а = 2i(j.+ i)fAe-^xl ,

b = 2i(j-i)fAe^xl ,

где

,

f = (( γ + i)²e^-λl – (γ – i)²e^λl).

В силу неравенства

e^λl > e^-λl

справедливо приближенное равенство

Теперь нетрудно выразить амплитуду С волны, прошедшей за барьер, через амплитуду А волны, падающей на него:

C = (ae^λl + be^-λl)e^-ikl = 4iγfAe^-ikl ≈ -

Найдем по формуле (20.57) коэффициент прохождения D. Так как волновое число волны, прошедшей за барьер, равно волновому числу k, будем иметь

С учетом обозначения (20.48) этой формуле можно придать вид

где

Рис. 20.10. Потенциальный барьер произвольной формы

Коэффициент D прохождения частицы через потенциальный барьер произвольной формы (рис. 20.10) можно вычислить по формуле

где а и b - значения координаты х, при которых функция U(x) равна Е. "Туннельный эффект", т.е. явление прохождения частиц через потен­циальный барьер, высота которого U_o больше энергии частицы Е, было обнаружено экспериментально.