Рівняння дотичної і нормалі до кривої

Нехай рівняння y = f (x) є рівняння деякої кривої, яка в точці M₀(x₀, f (x₀)) має дотичну, тобто функція y = f (x), диференційовна при x = x₀. Проведемо через точку M₀(x₀, f (x₀)) кривої y = f (x) дотичну M₀T.

Означення. Нормаллю(рис.1) до кривої y = f (x) називається пряма, яка проходить через точку дотику M₀(x₀, f (x₀)) перпендикуляр­но до дотичної в цій точці (пряма M₀R).

Рівняння дотичної шукаємо у вигляді:

y – y₀ = k(x – x₀),

де k = tg a – кутовий коефі­цієнт прямої. Із геометричного змісту похідної відомо, що
tg a = f ¢(x₀). Отже, рівняння до­тичної до кривої y = f (x), прове­де­ної в точці M₀(x₀, f (x₀)), має вигляд

y – y₀ = f ¢(x₀)(x – x₀), де y₀ = f (x₀).

Як відомо, кутові коефіцієнти взаємно перпендикулярних пря­мих зв’язані рівністю k₁·k₂ = – 1. Тому кутовий коефіцієнт нормалі до кривої, проведеної в точці M₀(x₀, f (x₀)), дорівнює і рів­няння нормалі має вигляд: .

Приклад. Скласти рівняння дотичної і нормалі до кривої y = x³ в точці M₀(1, 1).

Розв’язання. Рівняння дотичної має вигляд:

y – y₀ = f ¢(x₀)(x – x₀),

де x₀ = 1, y₀ = 1. Маємо y¢ = (x³)¢ = 3x². Тоді f ¢(x₀) = f ¢(1) = 3. Отже, шу­кане рівняння дотичної:

y – 1 = 3(x – 1); 3x – y – 2 = 0.

Рівняння нормалі має вигляд ,

тобто , або x + 3y – 4 = 0.