Движение по окружности

Движение тела по окружности является частным случаем криволинейного движения. Наряду с вектором перемещения удобно рассматривать угловое перемещение Δφ (или угол поворота), измеряемое в радианах (рис. 1.6.1). Длина дуги связана с углом поворота соотношением

Δl = R Δφ.

При малых углах поворота Δl ≈ Δs.

Рисунок 1.6.1. Линейное и угловое перемещения при движении тела по окружности

Угловой скоростью ω тела в данной точке круговой траектории называют предел (при Δt → 0) отношения малого углового перемещения Δφ к малому промежутку времени Δt:

Угловая скорость измеряется в рад/с.

Связь между модулем линейной скорости υ и угловой скоростью ω:

υ = ωR.

При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются неизменными. В этом случае при движении изменяется только направление вектора

Равномерное движение тела по окружности является движением с ускорением. Ускорение

направлено по радиусу к центру окружности. Его называют нормальным или центростремительным ускорением. Модуль центростремительного ускорения связан с линейной υ и угловой ω скоростями соотношениями:

Для доказательства этого выражения рассмотрим изменение вектора скорости за малый промежуток времени Δt. По определению ускорения

Векторы скоростей и в точках A и B направлены по касательным к окружности в этих точках. Модули скоростей одинаковы υ_A = υ_B = υ.

Из подобия треугольников OAB и BCD (рис. 1.6.2) следует:

Рисунок 1.6.2. Центростремительное ускорение тела при равномерном движении по окружности

При малых значениях угла Δφ = ωΔt расстояние |AB| =Δs ≈ υΔt. Так как |OA| = R и |CD| = Δυ, из подобия треугольников на рис. 1.6.2 получаем:

При малых углах Δφ направление вектора приближается к направлению на центр окружности. Следовательно, переходя к пределу при Δt → 0, получим:

При изменении положения тела на окружности изменяется направление на центр окружности. При равномерном движении тела по окружности модуль ускорения остается неизменным, но направление вектора ускорения изменяется со временем. Вектор ускорения в любой точке окружности направлен к ее центру. Поэтому ускорение при равномерном движении тела по окружности называется центростремительным.

В векторной форме центростремительное ускорение может быть записано в виде

где – радиус-вектор точки на окружности, начало которого находится в ее центре.

Модель. Равномерное движение по окружности

Если тело движется по окружности неравномерно, то появляется также касательная (или тангенциальная) составляющая ускорения (см. §1.1):

В этой формуле Δυ_τ = υ₂ – υ₁ – изменение модуля скорости за промежуток времени Δt.

Направление вектора полного ускорения определяется в каждой точке круговой траектории величинами нормального и касательного ускорений (рис. 1.6.3).

Рисунок 1.6.3. Составляющие ускорения и при неравномерном движении тела по окружности

Движение тела по окружности можно описывать с помощью двух координат x и y (плоское движение). Скорость тела в каждый момент можно разложить на две составляющие υ_x и υ_y (рис. 1.6.4).

При равномерном вращении тела величины x, y, υ_x, υ_y будут периодически изменяться во времени по гармоническому закону с периодом

Рисунок 1.6.4. Разложение вектора скорости по координатным осям

Модель предназначена для изучения кинематики равномерного движения тела по окружности. В любой момент времени можно определить проекции скорости тела на оси x и y.

Координаты тела x, y и проекции его скорости изменяются во времени по гармоническому закону с периодом где ω – круговая частота. Можно проследить влияние изменения радиуса окружности R и скорости тела υ на частоту вращения.

При движении тела (материальной точки) по окружности наряду с линейной скоростью которая в любой момент времени направлена по касательной к траектории, вводится понятие угловой скорости ω

где ∆φ – угол поворота (или угловое перемещение) тела за малое время ∆t. Принято за положительное направление вращения принимать направление против часовой стрелки. Модули угловой и линейной скорости связаны соотношением υ = ωR, где R – радиус окружности. При равномерном движении тела по окружности величины υ и ω остаются постоянными, и угол поворота φ изменяется во времени по линейному закону φ = ωt. В случае равномерного движения по окружности изменяется только направление вектора

Равномерное движение по окружности является движением с ускорением. Вектор ускорения направлен по радиусу к центру окружности, поэтому его называют центростремительным или нормальным (по отношению к направлению вектора скорости ). Модуль нормального ускорения связан с модулями линейной и угловой скоростей соотношениями

Движение тела по окружности можно рассматривать в проекциях на взаимно перпендикулярные оси x и y.

Если угол поворота φ отсчитывать от направления оси x, то

Таким образом, координаты x и y тела при равномерном движении тела по окружности, а, следовательно, и составляющие скоростей υ_x и υ_y изменяются во времени по гармоническому закону с угловой частотой ω. Период вращения будет равен

Предлагаемая компьютерная модель предназначена для изучения кинематики равномерного движения тела по окружности. Тело стартует из точки с координатами (0, –R) и движется по окружности по или против часовой стрелки с постоянной по модулю скоростью. С помощью окон для ввода параметров движения можно изменять радиус R, модуль линейной скорости υ и направление движения.