Интегральная теорема Гаусса-Остроградского
Получение дифференциальных уравнений гидромеханики из законов сохранения, записанных в интегральной форме, основано на теореме Гаусса-Остроградского.
Пусть компоненты некоторого непрерывно дифференцируемого векторного поля ; произвольная гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая объем пространства V и имеющая, внешнюю нормаль . Тогда имеет место равенство
. (5.1)
Иными словами, теорема Гаусса-Остроградского позволяет преобразовать интеграл по поверхности в интеграл по объему , ограниченному этой поверхностью.
Поскольку интеграл
называют потоком вектора через поверхность , а сумму трех частных производных
,
вычисленных в точке - дивергенцией вектора , то поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему , заключенному внутри нее.
Для бесконечно малого объема , заключающего в себе точку , справедлива формула
или
. (5.2)
Если вектор представляет скорость жидкости, то поток вектора через замкнутую поверхность имеет смысл объема жидкости, вытекающей (если ) или втекающей (если ) из объема , ограниченного этой поверхностью, в единицу времени. Рассчитанный на единицу объема пространства он имеет смысл увеличения (если ) или уменьшения (если ) объема жидкости («дивергенция» буквально означает «расхождение») в каждой точке пространства. Таким образом, понятен смысл дивергенции вектора как скорости изменения объема жидкости в данной точке пространства. В частности, для несжимаемой жидкости, суммарный объем которой внутри замкнутой поверхности неизменен, в каждой точке пространства, ограниченного этой поверхностью.
5.2. Дифференциальное уравнение неразрывности
Это уравнение выражает собой закон сохранения массы среды, и оно уже было получено в главе 1. Рассмотрим вывод это того уравнения, использующий интегральное представление.
В интегральной форме закон сохранения массы имеет вид (4.1)
или
.
Используя формулу Гаусса-Остроградского, можно записать
,
или
Поскольку объем произволен, то должно выполняться равенство
. (5.3)
Это уравнение называется дифференциальным уравнением неразрывности (непрерывности) потока и представляет собой первое уравнение полной системы гидродинамических уравнений. В развернутом виде оно записывается так:
. (5.4)
Таким образом, четыре функции координат и времени , , ), удовлетворяют этому уравнению с частными производными.
Для несжимаемой жидкости плотность у каждой частицы не изменяется. Поэтому полная производная по времени от равна нулю
.
Преобразуя уравнение неразрывности (5.4), получаем:
.
Первый член в левой части этого уравнения представляет собой полную производную по времени от плотности (см. 1.8)
равную нулю. Поэтому имеем
, (5.5)
т.е. для несжимаемой жидкости дивергенция вектора скорости тождественно равна нулю: .