Интегральная теорема Гаусса-Остроградского

Получение дифференциальных уравнений гидромеханики из законов сохранения, записанных в интегральной форме, основано на теореме Гаусса-Остроградского.

Пусть Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru компоненты некоторого непрерывно дифференцируемого векторного поля Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru ; Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru произвольная гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая объем пространства V и имеющая, внешнюю нормаль Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru . Тогда имеет место равенство

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru . (5.1)

Иными словами, теорема Гаусса-Остроградского позволяет преобразовать интеграл по поверхности Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru в интеграл по объему Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , ограниченному этой поверхностью.

Поскольку интеграл

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru

называют потоком вектора Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru через поверхность Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , а сумму трех частных производных

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru ,

вычисленных в точке Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru - дивергенцией вектора Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , то поток вектора Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru через замкнутую поверхность Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , заключенному внутри нее.

Для бесконечно малого объема Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , заключающего в себе точку Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , справедлива формула

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru

или

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru . (5.2)

Если вектор Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru представляет скорость жидкости, то поток вектора через замкнутую поверхность Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru имеет смысл объема жидкости, вытекающей (если Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru ) или втекающей (если Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru ) из объема Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , ограниченного этой поверхностью, в единицу времени. Рассчитанный на единицу объема пространства он имеет смысл увеличения (если Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru ) или уменьшения (если Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru ) объема жидкости («дивергенция» буквально означает «расхождение») в каждой точке пространства. Таким образом, понятен смысл дивергенции вектора как скорости изменения объема жидкости в данной точке пространства. В частности, для несжимаемой жидкости, суммарный объем которой внутри замкнутой поверхности неизменен, Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru в каждой точке пространства, ограниченного этой поверхностью.

5.2. Дифференциальное уравнение неразрывности

Это уравнение выражает собой закон сохранения массы среды, и оно уже было получено в главе 1. Рассмотрим вывод это того уравнения, использующий интегральное представление.

В интегральной форме закон сохранения массы имеет вид (4.1)

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru

или

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru .

Используя формулу Гаусса-Остроградского, можно записать

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru ,

или

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru

Поскольку объем Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru произволен, то должно выполняться равенство

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru . (5.3)

Это уравнение называется дифференциальным уравнением неразрывности (непрерывности) потока и представляет собой первое уравнение полной системы гидродинамических уравнений. В развернутом виде оно записывается так:

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru . (5.4)

Таким образом, четыре функции координат и времени Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru ), Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru удовлетворяют этому уравнению с частными производными.

Для несжимаемой жидкости плотность у каждой частицы не изменяется. Поэтому полная производная по времени от Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru равна нулю

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru .

Преобразуя уравнение неразрывности (5.4), получаем:

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru .

Первый член в левой части этого уравнения представляет собой полную производную по времени от плотности (см. 1.8)

равную нулю. Поэтому имеем

Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru , (5.5)

т.е. для несжимаемой жидкости дивергенция вектора скорости тождественно равна нулю: Интегральная теорема Гаусса-Остроградского - student2.ru .

Наши рекомендации