Основные расчётные формулы
При изгибе стержней в сечениях возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q. Они определяются методом сечений. Величина поперечной силы в произвольном сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних поперечных сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения.
Величина изгибающего момента М в сечении равна алгебраической сумме моментов всех внешних сил по одну сторону от сечения. Между этими внутренними силовыми факторами имеется следующая связь:
поперечная сила равна первой производной от изгибающего момента по координате, направленной вдоль оси балки
. (2.1)
В свою очередь, между поперечной силой Q и распределённой внешней нагрузкой q имеется аналогичная взаимосвязь
. (2.2)
Чтобы изучить работу балки от внешних сил и реакции, необходимо построить эпюры (графики) распределения внутренних силовых факторов – поперечной силы и изгибающего момента по её длине.
Сечение, в котором действует наибольший изгибающий момент, называют опасным. В каждой точке балки возникает нормальное напряжение σ, которое линейно изменяется по высоте сечения.
(2.3)
где у - координата слоя балки, в котором определяются напряжения;
Iх – осевой момент инерции сечения относительно главной оси.
Наибольшее напряжение возникает в нижнем и верхнем слоях сечения
(2.4)
где - момент сопротивления изгибу относительно оси х.
Прочность балки оценивается по максимальному нормальному напряжению в опасном сечении. Условия прочности балки имеют вид неравенства:
(2.5)
где σП – предельное напряжение материала, из которого изготовлена балка; [n] – коэффициент запаса прочности.
В сечениях балки возникает касательное напряжение, которое определяется по высоте не линейно (2.6)
(2.6)
где b – ширина слоя сечения;
– статический момент площади над слоем.
Касательные напряжения равны нулю в верхнем и нижнем слоях балки и имеют наибольшее значение в слое, проходящем через центр тяжести сечения. Они учитываются при оценке балки на межслойный сдвиг. Касательное напряжение между слоями балки не должны превышать допускаемого
(2.7)
где - предельное напряжение (или - предел текучести, или - предел прочности при сдвиге).
При изгибе балки её сечения имеют поперечные перемещения у, которые называют прогибами, и угловые перемещения .
Между прогибом, углом поворота и изгибающим моментом в этом сечении имеются следующие дифференциальные связи:
(2.8)
где E·Iх - параметр, характеризующий жесткость балки на изгиб.
Для дифференциальных уравнений (2.8) получены универсальные решения, пригодные для любой балки с прямой осью и постоянной жесткостью:
(2.9)
, (2.10)
где и у0- начальные параметры - угол поворота и прогиб сечения, расположенного в начале координат;
а, b, c, d- координаты приложения соответственно сосредоточенного момента m, силы F и распределенной нагрузки q.
В практических расчетах часто после расчета на прочность производится проверка выполнения условий жесткости.
(2.11)
где [у] и [ ]- допускаемый прогиб и угол поворота сечения, которые устанавливаются на основании опыта эксплуатации аналогичных конструкций.