Мгновенный центр ускорений

В каждый момент движения плоской фигуры в своей плоскости, если и не равны нулю одновременно, имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю. Эту точку называют мгновенным центром ускорений. Обозначим ее через . Для доказательства этой теоремы предположим, что известны по модулю и направлению ускорение какой-либо точки плоской фигуры, угловая скорость и угловое ускорение этой фигуры. Пусть (рис. 44). Мгновенный центр ускорений лежит на линии, проведенной под углом к ускорению точки, тангенс которого вычисляем по формуле:

.

При этом угол надо отложить от ускорения в направлении дуговой стрелки углового ускорения , т.е. в рассматриваемом случае по часовой стрелке. Только в точках этой прямой ускорение и ускорение от вращения могут иметь противоположные направления и одинаковые значения, т.е.:

, и тогда

.

Но , следовательно,

.

Из приведенного доказательства следует, что мгновенный центр ускорений является единственной точкой плоской фигуры, ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю. В другой момент времени мгновенный центр ускорений находится в общем случае в другой точке плоской фигуры.

Если мгновенный центр ускорений известен, то, выбрав его за полюс, для ускорения точки плоской фигуры по формуле (82) получаем

, т.к. .

Следовательно:

. (88)

Ускорение направлено под углом к отрезку , соединяющему точку с мгновенным центром ускорений в сторону дуговой стрелки углового ускорения (рис. 45).

Для точки , аналогично

(89)

и ускорение также направлено под углом к отрезку

Из формул (88) и (89) имеем

, (90)

т.е. ускорения точек плоской фигуры при плоском движении пропорциональны расстояниям от этих точек до мгновенного центра ускорений.

Итак, суммируя результаты, получаем, что ускорения точек плоской фигуры при плоском движении можно определить так же, как и при вращательном движении плоской фигуры вокруг мгновенного центра ускорений с угловой скоростью и угловым ускорением .

Для вычисления скоростей точек плоской фигуры при плоском движении принимают, что плоская фигура вращается вокруг мгновенного центра скоростей, а для вычисления ускорения следует считать, что она вращается вокруг мгновенного центра ускорений.

При качении без скольжения колеса по прямой получается, что ускорение мгновенного центра скоростей не равно нулю; следовательно, в общем случае мгновенные центры скоростей и ускорений являются различными точками плоской фигуры.

Ускорения точек плоской фигуры при плоском движении, подобно скоростям точек, можно определять двумя способами: по формуле (82), выражающей зависимость ускорений двух точек плоской фигуры, и по формуле (88), используя мгновенный центр ускорений. Обычно мгновенный центр ускорений, кроме частных случаев, когда угловая скорость или угловое ускорение равны нулю, располагается на плоской фигуре так, что трудно определить расстояние от него до рассматриваемых точек фигуры. Поэтому определение ускорения точек рекомендуется вычислять по формуле (82).

Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра ускорений как в частных, так и в общем случаях.

1. Пусть известно, что угловое ускорение , а угловая скорость . Очевидно, это возможно в случае, когда плоская фигура вращается в своей плоскости с постоянной угловой скоростью или когда угловая скорость достигает относительно наибольшего или наименьшего значения. В этом случае для угла

, и, следовательно, угол .

Мгновенный центр ускорений лежит на прямой линии, по которой направлено ускорение какой-либо точки плоской фигуры (рис. 46). Так как это справедливо для любой точки фигуры, то, следовательно, мгновенный центр ускорений лежит в точке пересечения прямых линий, по которым направлены ускорения точек плоской фигуры. Ускорения точек плоской фигуры в этом случае направлены к мгновенному центру ускорений, так как они состоят только из одной относительной нормальной составляющей от вращения вокруг мгновенного центра ускорений.

Если известно ускорение, например точки , то мгновенный центр ускорений можно найти по расстоянию .

.

Эта формула получается из (88) в том случае, когда угловое ускорение равно нулю.

2. Пусть угловая скорость , а угловое ускорение .

Это возможно при мгновенном поступательном движении. Тогда

, и, следовательно, угол – прямой. Его надо откладывать от ускорения точки в направлении дуговой стрелки углового ускорения. Мгновенный центр ускорений лежит на пересечении перпендикуляров к ускорениям точек плоской фигуры, проведенных из этих точек (рис. 47). Если известно числовое значение ускорения какой-либо точки , то расстояние от до мгновенного центра ускорений можно вычислить по формуле

, которая получается из формулы (88) при .

3. В общем случае, когда угловая скорость и угловое ускорение известны и не равны нулю, для угла имеем

.

Мгновенный центр ускорений лежит на пересечении прямых линий, проведенных к ускорениям точек фигуры под одним и тем же углом , причем угол нужно откладывать от ускорений точек в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления угловой скорости плоской фигуры (см. рис. 45). Если известно ускорение, например точки , то расстояние от точки до мгновенного центра ускорений можно найти по формуле (88), т. е.:

.

4. Пусть в данный момент времени известны ускорения двух точек плоской фигуры: и (рис. 48). Укажем способ нахождения мгновенного центра ускорений в этом случае. По формулам (82–85), приняв за полюс точку , имеем:

, (91)

где , .

Проецируя левую и правую части векторной формулы (91) на две взаимно перпендикулярные оси и , получаем:

, ,

где и – известные углы соответственно между ускорениями и и положительным направлением оси .

При принятом направлении оси проекцию на эту ось надо взять со знаком плюс, так как направлена всегда от точки к полюсу . Проекцию ускорения на ось предположительно возьмем с плюсом, считая дуговую стрелку в рассматриваемом случае направленной против часовой стрелки. Определяя и , легко находим:

, .

Естественно, что в реальных случаях величина , найденная из полученной формулы, должна оказаться положительной. Знак же углового ускорения определяется знаком правой части формулы для .

После того как найдены и , задача нахождения мгновенного центра ускорений сводится к уже рассмотренному случаю 3.