Уравнения движения гиросферы под действием маятникового и демпфирующего моментов

Рассмотрим, как повлиял масляный успокоитель на положение равновесия чувствительного элемента гирокомпаса. Для этого найдем частные решения уравнений (3.15) при = = = 0:

α_r = 0,

β_r = γ_r (3.16)

β_r =

В положении равновесия главная ось ЧЭ находится в плоскости истинного меридиана и приподнята над плоскостью горизонта на угол β_r. Благодаря этому углу на гиросферу действует результирующий момент, равный разности маятникового и демпфирующего моментов. Данный момент обеспечивает прецессию гироскопа за меридианом.

Для того чтобы эксплуатационные характеристики гирокомпаса удовлетворяли необходимым на судне требованиям, нужно изготовить гиросферу с определенными параметрами, значения которых рассчитываются или подбираются. Так как судоводителя в первую очередь интересует поведение чувствительного элемента в азимуте, решим систему уравнений (3.15) относительно переменной α.

Для разделения переменных продифференцируем первое уравнение (3.15):

H + B - C = 0 (3.17)

Из второго уравнения возьмем , а из третьего :

Н + В ω_♀cos φ· α + FCβ - FCγ = 0 .

Продифференцируем полученное уравнение и подставим в него значение из второго уравнения (3.15) и C из уравнения (3.17):

+ F + cos φ + F ω_♀cos φ· α = 0. (3.18)

Уравнение (3.18) не только характеризует описанное ранее движение чувствительного элемента, но и позволяет исследовать его устойчивость в азимуте с точки зрения основ теории автоматического регулирования. Обозначив коэффициенты при α как α₀, α₁ и т.д., составим характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (3.18):

а₀ λ³ + а ₁ λ² + а ₂ λ + а ₃ = 0 , (3.19)

где λ = .

Данное характеристическое уравнение является уравнением третьей степени и имеет корни λ_1, λ₂, λ_3.

В соответствии с критериями Рауса - Гурвица система устойчива при выполнении следующих условий:

1. Первый коэффициент должен быть больше нуля (а₀ > 0);

2. Сумма внутренних коэффициентов должна быть больше суммы внешних коэффициентов:

> 0;

3. Общий определитель должен быть больше 0:

> 0

4. Система устойчива при выполнении вышеперечисленных условий. Следовательно, один из корней характеристического уравнения (3.19) вещественный и отрицательный, а два других - комплексные, сопряженные, с отрицательной вещественной частью:

λ₁ = -m

λ₂ = -n + iω_d (3.20)

λ_3. = - n - iω_d

где i = √-1,

ω_d - круговая частота затухающих колебаний гиросферы.

Выполнение условий Рауса - Гурвица обеспечивается подбором таких параметров гиросферы, как Н, В, С, F, то есть характеристик гироскопов, величины смещения центра тяжести относительно центра подвеса, массы гиросферы, характеристик масляного успокоителя и масла.

Общий интеграл уравнения (3.18), определяющий движение главной оси гиросферы в азимуте относительно плоскости истинного меридиана, будет

α = A e^{-m t} + e^{-n t} (C₁ cos ω_dt + C₂ sin ω_dt) (3.21)

где A,C₁,C₂ - постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий.

Первое слагаемое приведенного уравнения отображает апериодическое движение (рис.3.6) и характеризуется неустановившимся движением масла в демпфере после запуска гирокомпаса. Второе описывает гармонические затухающие колебания.

Рис.3.6.

Из рис.3.6 также видно, что при анализе кривой удобнее использовать не частоту ω_d затухающих колебаний, а период:

(3.22)

Кривая затухающих колебаний имеет важное практическое значение. Она позволяет судить об исправности чувствительного элемента и о его параметрах, которые, как уже отмечалось, должны соответствовать судовым условиям.

Билет № 9