Закон о изменения кинетической энергии

Применим к индивидуальному объему жидкости (рис. 4.4) теорему об изменении кинетической энергии системы материальных точек. Эта теорема читается так: производная по времени от кинетической энергии системы материальных точек равна сумме мощностей всех внешних и внутренних сил, приложенных к этой системе. Полагая в формуле (4.3) , придадим теореме следующий вид:

. (4.40)

Суммарная мощность внешних сил состоит из трех составляющих: мощности поверхностных сил, выражающейся в работе вектора напряжения на поверхности рассматриваемого объема в единицу объёма

,

мощности массовых сил и мощности сторонних сил обусловленных, например, работой насосов.

Если на жидкость действует только сила тяжести, то мощность массовых сил равна скорости изменения потенциальной энергии объема V:

,

где — координата частицы жидкости по вертикальной оси; вектор направлен по этой оси в отрицательном направлении.

Суммарная мощность внутренних сил также может быть представлена в виде двух частей: мощности внутренних сил, совершающих работу по сжатию частиц и мощности диссипативных сил вязкого внутреннего трения . Силы вязкого трения совершают работу на перемещениях слоев жидкости друг относительно друга, поэтому член дает скорость перехода механической энергии движения в тепло.

Уравнение Бернулли.

Теорема об изменении кинетической энергии, примененная к установившемуся течению жидкости в трубе, позволяет получить одно из основных уравнений гидравлики - уравнение Бернулли. Если течение жидкости установившееся и на рассматриваемом участке сторонние силы отсутствуют, , то из уравнения (4.40) исчезает первое слагаемое в левой части, поскольку . Кроме того, на внутренней поверхности трубы (рис. 4.9) скорость жидкости равна нулю, поэтому имеем:

(4.41)

Скалярное произведение ( ) можно преобразовать следующим образом:

где — единичный вектор, лежащий в плоскости сечения или .

Рис.4.9. Течение жидкости в трубе между сечениями и

Для идеальной жидкости ; , и имеет место равенство

. (4.42)

При движении реальной жидкости в трубе величина нормального напряжения близка к давлению , а скалярное произведение ( ) весьма мало, так как скорость жидкости образует с плоскостями сечений и угол, равный приблизительно 90°. Поэтому можно считать, что для реальной жидкости также выполняется равенство (4.41), хотя и приближенно.

Подставляя равенство (4.42) в уравнение (4.41), получаем

(4.43)

Использяю теорему о среднем, получаем:

,

где нижние индексы показывают, к каким сечениям относятся соответствующие величины.

Учитывая, что массовый расход сохраняется от сечения к сечению, получаем уравнение

.

Заметим далее, что среднее значение квадрата скорости не равно квадрату средней скорости, поэтому введем коэффициент согласно равенству

.

Коэффициент называют коэффициентом Кориолиса. Этот коэффициент, учитывающий неравномерность распределения скоростей потока по сечению трубы, определяется формулой

,

поэтому

. (4.44)

Полагая в дальнейшем, что плотность и давление жидкости практически не меняются по сечению трубы и, обозначая координату геометрического центра тяжести сечения, получаем уравнение

.

Разделив обе его части на g и положив , получим уравнение называемое уравнением Бернулли:

. (4.45)

Величины, входящие в уравнение (4.45), имеют специальные названия:

· скоростной напор, (м);

· пьезометрический напор, (м);

· геометрический напор, (м),

а сумма всех трех величин называется полным напором и обозначается букой :

полный напор, (м).

Если жидкость несжимаемая, то , тогда

. (4.46)

Это уравнение читается так: изменение полного напора при течении несжимаемой жидкости в трубе между сечениями и равно потере напора (м) между этими сечениями. Уравнение (4.46) показывает, что потери в трубе связаны с диссипацией (переходом) механической энергии в тепло за счет работы сил внутреннего трения, т.е. трение слоев жидкости друг о друга.

Уравнение (4.46) Бернулли является одним из основных уравнений, используемых в расчетах трубопроводов, а величина потерь напора служит важной характеристикой энергетических потерь при движении. Отметим, что все напоры имеют размерность длины ( ), т.е. в системе СИ измеряются в метрах.

Замечание. Величина диссипативных потерь механической энергии, а также коэффициент Кориолиса могут быть вычислены теоретическим путем в тех случаях, когда можно рассчитать течение жидкости. В частности, это можно сделать для ламинарного течения несжимаемой жидкости в круглой трубе. Поскольку, однако, решить сложные гидромеханические уравнения удается далеко не всегда, то в гидравлике величина потерь напора и коэффициент Кориолиса часто рассчитываются с использованием экспериментальных коэффициентов.

Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли допускает простую геометрическую интерпретацию (рис. 4.10). Пусть трубопровод задан своим профилем, т.е. зависимостью , где координата отсчитывается вдоль оси трубопровода, на рис. 4.10 - это жирная ломанная линия.

- линия гидравлического уклона

- профиль трубопровода.

Рис. 4.10.Геометрическая интерпретация

уравнения Бернулли

Отложим в каждой точке от этой линии отрезок с длиной равнойсумме - пьезометрического напора и - геометрического напора. Тогда сумма трех отрезков даст зависимость полного напора от координаты . Эту зависимость представляет линия, называемая линией гидравлического уклона.

Уравнение Бернулли утверждает, что разность напоров и в двух сечениях и трубопровода, равна потере напора на участке между этими сечениями:

. (4. )

Поскольку потеря напора обусловлена переходом механической энергии движения жидкости в тепло, то линия гидравлического уклона показывает, как быстро тратится эта энергия. Если участок представляет собой трубопровод с постоянным диаметром, то потери напора в каждом участке единичной длины одинаковы, пэтому потеря напора на произвольном участке линейно зависит от длины этого участка, и линия гидравлического уклона есть прямая линия. Тангенс угла наклона этой линии к горизонту

, (4.47)

характеризующий потери напора на единицу длины, называется гидравлическим уклоном. Ниже будет показано, что потеря напора и гидравлический уклон зависят от режима течения жидкости в трубе, в частности, от средней скорости течения, а также будут даны формулы для вычисления этих параметров.

Примечание. Для магистральных нефте- и нефтепродуктопроводов, в которых скорость жидкости составляет , скоростным напором, как правило, пренебрегают и полным напором считают сумму геометрического и пьезометрического напоров. Действительно, если , то м. Иными словами, скоростной напор сравним с диаметром трубопровода, в то время как сами геометрический и пьезометрический напоры, а также их изменения, составляют многие десятки метров. Например, если разность давлений в двух сечениях нефтепровода ( ) равна 1 МПа ( 10 атм), то изменение пьезометрического напора составляет более 100 м:

.

Теорема Борда-Карно.

В качестве примера применения полученных соотношений определим гидравлические потери напора при внезапном расширениипотока несжимаемой жидкости, причем под термином внезапное расширение понимается скачкообразное изменение диаметра трубы (рис. 4.11). Внезапное расширение трубы представляет собой один из видов местных сопротивлений.

Если течение жидкости происходит в развитом турбулентном режиме, то в сечениях трубы и , расположенных непосредственно перед расширением трубы и на некотором расстоянии от него вниз по потоку, распределение скоростей можно считать достаточно равномерным.

Рис. 4.11. Вычисление потери напора при внезапном

расширение потока (к выводу теоремы Борда-Карно)

Выбирая контрольную поверхность так, как это показано пунктирной линией на рис. 4.11, запишем основные интегральные теоремы изменения массы, количества движения и кинетической энергии применительно к выбранной контрольной поверхности:

(4.48)

Здесь принято, что труба расположена горизонтально , а коэффициент Кориолиса близок к единице.

Если пренебречь силами трения на поверхности трубы между сечениями 1 и 2, то проекции реакции трубы и поверхностной силы на ось ОХ трубы определяются следующими выражениями:

.

Первые два уравнения системы (4.48)

позволяют выразить разность давлений через скорости и жидкости:

,

а третье уравнение - исключить эту разность из выражения для :

.

Далее имеем:

.

Учитывая, что отношение скоростей равно отношению площадей, получаем окончательно

, . (4.49)

где скорость набегающего потока (скорость потока до расширения). Входящий в эту формулу безразмерный коэффициент называют коэффициентом местного сопротивления при внезапном расширении потока.

Заметим, что в большинстве случаев коэффициенты местных сопротивлений (сужений потока, поворотов трубы, тройников, задвижек, заслонок, кранов и др., см. гл.9) находятся экспериментальным путем, и лишь в некоторых случаях, как, например, в рассмотренном случае внезапного расширения потока, определяются расчетным путем.

Расходомер Вентури

Уравнение Бернулли устанавливает связь между средними по сечению скоростями жидкости и давлениями в разных сечениях трубы, поэтому оно может быть использовано для измерения расхода жидкости путем измерения давлений. Примером устройства для измерения расхода, базирующимся на уравнении Бернулли, служит расходомер Вентрури (рис. 4.12). Расходомер Вентури представляет собой разновидность так называемых сужающих устройств, в котором площадь проточной части постепенно уменьшается от значения до значения . Соответственно этому, скорость течения постепенно увеличивается от значения в широкой части устройства до значения в узкой части. Согласно уравнению Бернулли (4.46) в пренебрежении потерями напора на участке между сечениями и , давление уменьшается от значения в широкой части устройства до значения в узкой части .

Рис. 4.12. Расходомер Вентури

Если дифференциальный пьезметр, заполненный жидкостью с плотностью , например ртутью, соединить одним концом с широкой частью трубы, а другим – с узкой частью , то уровень жидкости во втором колене будет выше, чем в первом на величину , причем

.

Имеем следующие уравнения:

или .

Отсюда находим:

.

Следовательно, расход жидкости, равный , находится по формуле:

. (4.50)

Таким образом, измерив разность уровней жидкости в дифференциальном пьезометре, можно по формуле (4.50) вычислить расход жидкости.