Решение задачи в объемной постановке и исследование сходимости конечно-элементного решения

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА

Отчет по лабораторной работе №2

Задача Ляме

Выполнила: студентка гр. 43221/4______________Матвеев М. В.

Принял: ассистент каф. МПУ ___________ Буслаков И.В.

СОДЕРЖАНИЕ:

1. Введение и постановка задачи.

2. Аналитическое решение.

3. Решение задачи в объемной постановке и исследование сходимости конечно-элементного решения.

4. Решение задачи в плоской постановке.

5. Решение задачи в осесимметричной постановке.

6. Сравнение аналитического решения с результатами численного эксперимента.

7. Вывод.

Введение.

Целью данной работы является конечно-элементное исследование напряженного состояния полого цилиндра (трубы); определение радиальных перемещений и радиальных и осевых перемещений аналитически и при помощи пакета прикладных программ ANSYS. Конечно-элементное решение рассматривается в трех постановках: объемной, плоской и осесимметричной.

Постановка задачи.

Рассматривается полый цилиндр, нагруженный внешним и внутренним давлением. Исходные данные для задачи приведены в таблице ниже.

Таблица 1. Исходные данные.

a, м	b, м	p1, Па	p2, Па	E, Па	µ
0,9	1,5				0,3

a, b – внутренний и внешний радиусы цилиндра;

p₁, p₂ – внутреннее и внешнее давление;

E – модуль Юнга;

µ – коэффициент Пуассона.

Рисунок 1. Схема задачи.

Аналитическое решение.

Рассчитаем значения радиальных и осевых напряжений и радиальных перемещений [1, с. 74].

На внутренней стороне трубы (т.е. при r = a):

На внешней стороне трубы (т.е. при r = b):

Полученные результаты сведем в таблицу 2.

Таблица 2. Радиальные и осевые напряжения и радиальные перемещения на внутренней и внешней сторонах трубы.

r, м	, Па	, Па	, м ∙10-9
0,9	-2500	-5625	-0,219
1,5	-3500	-4625	-0,268

Решение задачи в объемной постановке и исследование сходимости конечно-элементного решения.

Исследование сходимости проведем только при решении задачи в объемной постановке. Заданная фигура обладает симметрией относительно оси, поэтому можно решить задачу для четверти цилиндра. При этом к «границам отреза» необходимо приложить граничные условия симметрии, а также закрепить плоскость OXY в вертикальном направлении (см. Рисунок 2).

Рисунок 2. Объемная модель с учетом симметрии и приложенными граничными условиями.

В данной постановке используется 20-ти узловой квадратичный объемный тип элемента SOLID 186 Для исследования сходимости будем увеличивать число элементов в модели путем уменьшения размеров элементов. Ниже приведены КЭ-сетки и распределения радиальных напряжений для каждой КЭ-сетки.

Рисунок 3. Конечно-элементное разбиение исследуемой модели на 9 элементов.

Рисунок 4. Распределение радиальных напряжений, Па (9 элементов).

Рисунок 5. Конечно-элементное разбиение исследуемой модели на 540 элементов.

Рисунок 6. Распределение радиальных напряжений, Па (540 элементов).

Рисунок 7. Конечно-элементное разбиение исследуемой модели на 13158 элементов.

Рисунок 8. Распределение радиальных напряжений, Па (13158 элементов).

Рисунок 9. Конечно-элементное разбиение исследуемой модели на 34560 элементов.

Рисунок 10. Распределение радиальных напряжений, Па (34560 элементов).

Полученные с помощью ANSYS значения радиальных напряжений сведем в таблицу, а также построим графики зависимостей радиальных напряжений от числа элементов на внешней и внутренней сторонах трубы.

Таблица 3. Зависимость радиальных напряжений вдоль радиуса от числа элементов.

Число элементов	, Па
внутренняя сторона (r = a)	внешняя сторона (r = b)
	2539,36	3554,48
	2519,7	3503,02
	2506,01	3500,59
	2502,74	3500,2
	2501,67	3500,13

Рисунок 11. Зависимость радиальных напряжений от числа элементов на внутренней стороне трубы (r = a).

Рисунок 12. Зависимость радиальных напряжений от числа элементов на внешней стороне трубы (r = b).

При увеличении густоты сетки решение сходится к аналитическому. Однако при увеличении количества элементов более 10000 точность практически не изменяется. И дальнейшее увеличение количества элементов ведет к нерациональному использованию вычислительной мощности. Поэтому точность, полученная при использовании КЭ-сетки с 13158 элементами, считаем достаточной. Ниже приведем распределения радиальных и осевых напряжений, а также радиальных перемещений.

Рисунок 13. Распределение радиальных напряжений, Па (объемная постановка).

Рисунок 14. Распределение осевых напряжений, Па (объемная постановка).

Рисунок 15. Эпюра радиальных перемещений, м (объемная постановка).