Соотношение неопределенностей. Рассмотрим ансамбль частиц, каждая из которых находится в одном и том же квантовом
Рассмотрим ансамбль частиц, каждая из которых находится в одном и том же квантовом состоянии. Пусть известна волновая функция описывающая это состояние. Представим себе, что перед физиком-экспериментатором поставлена задача измерить величину а, характеризующую положение в пространстве или движение одной частицы. Предположим, что ему удалось измерить в некоторый момент времени t значения величины а для всех частиц ансамбля. Таким образом экспериментатор получил в свое распоряжение совокупность чисел a1, a2 , …, aN , где N - число частиц в ансамбле. Результатом измерения величины а является ее среднее значение а, которое экспериментатор найдет по формуле(19.35)
Разность называется отклонением значения а от среднего значения , а выражение
=
- средним значением квадрата отклонения. Ошибкой измерения величины а, или ее неопределенностью называется величина
(19.37)
Эта величина характеризует "разброс" значений в окрестности среднего значения
а и определяет точность измерения величины а. Чем меньше , тем выше точность измерения, т.е. с тем большей вероятностью величина, а принимает значение, близкое к . Если то это значит, что величина а в точности равна .
Среднее значение и неопределенность величины а для частицы, находящейся в состоянии, описываемом известной волновой функцией , могут быть вычислены теоретически. Для расчета среднего значения в квантовой механике имеется формула (19.25). Среднее значение квадрата отклонения можно вычислить по аналогичной формуле
2 = (19.38)
В том случае, когда экспериментальные и теоретические значения и совпадают, можно говорить о согласии теории с результатами экспериментов.
Квантовая механика описывает движения микрочастиц вещества с учетом их волновых свойств. Это описание осуществляется посредством волновой функции ψ. Необходимость создания квантовой механики была вызвана тем, что движения микрочастиц вещества обладают такими особенностями, которые не могут найти объяснения в рамках классической механики. Одна из таких особенностей движения микрочастиц заключается в следующем. Пусть перед экспериментатором была поставлена задача измерить одновременно координату х и импульс рх некоторой микрочастицы. Точность измерения координаты определяется величиной , а точность измерения импульса - величиной рх, которые можно вычислить по приведенным выше формулам. Оказывается, неопределенности и рх всегда удовлетворяют неравенству
(19.39)
В 1927 г. это неравенство было доказано теоретически немецким физиком В.Гейзенбергом и названо соотношением неопределенностей. Согласно этому неравенству неопределенности координаты и импульса рх не могут быть сколь угодно малы одновременно. Это означает, что координата х и импульс рх частицы в одном и том же измерении не могут быть определены сколь угодно точно, какими бы совершенными ни были измерительные приборы. Соотношение неопределенностей есть следствие физической природы микрочастиц вещества. Многочисленные измерения подтверждают его справедливость.
19.6. Собственные функции и собственные значения операторов *
Функция называется собственной функцией оператора , если она является решением уравнения
(19.40)
где число а называется собственным значением оператора . Это уравнение в общем случае имеет не одно, а множество различных решений. Совокупность всех значений числа а, при которых уравнение (19.40) имеет решение, называют спектром собственных значений оператора а.
Собственные функции какого-либо оператора а обладают замечательной особенностью. Когда частица находится в состоянии, описываемом
собственной функцией φ оператора а, физическая величина а принимает значение, в точности равное соответствующему собственному значению а, т.е.
и .
В самом деле, с учетом равенства (19.40) и условия нормировки (19.28) будем иметь
Докажем теперь, что Δa = 0. Но прежде выведем формулу
(19.41)
согласно которой среднее значение квадрата отклонения равно разности среднего квадрата величины а и квадрата ее среднего значения. Положим в формуле (19.38) ψ=φ и преобразуем ее следующим образом:
=
Так как
,
после простых преобразований приходим к формуле (19.41).
Вычислим при условии, что φ есть собственная функция оператора
=
Таким образом, приходим к выводу, что согласно формуле (19.41)
и ∆а = 0 .
Итак, доказано, что среднее значение в точности равно собственному значению а, которое соответствует данной Собственной функции φ оператора .