Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости, его энергетический смысл

Рассмотрим установившееся движение идеальной жидкости, находящейся под действием только одной массовой силы -силы тяжести и выведем для этого случаяосновное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения (рис. 9.2).

Рис. 9.2. Схема перемещений элементарной струйки

Возьмем одну из элементарных струек, составляющих поток, и выделим сечениями 1–1 и 2–2 участок этой струйки произвольной длины. Пусть площадь первого сечения равна dS₁, скорость в нем v₁, давлениеp₁, а вертикальная координата равна z_1, во втором сечении имеем соответственно dS₂, v₂, p₂ и z₂.

За бесконечно малый промежуток времени dt выделенный участок струйки 1 – 2 переместится в положение 1^' – 2^'.

Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему механики о том, что работа A сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела

A= T₂- T₁. (9.1)

Работа А складывается из работы A_p, произведенной силами давления, иработы A_G, произведенной силами тяжести,

A= A_p+ A_G. (9.2)

Работа A_p1 сил давления в первом сечении положительна, а во втором A_p2 отрицательна, поэтому

A_p= p₁dS₁v₁dt- p₂dS₂v₂dt.

Работа сил тяжести A_G равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки, поэтому надо из энергии положения жидкости в объеме 1–2 вычесть энергию положения жидкости в объеме 1^'–2^'. При этом энергия положения промежуточного объема 1^'–2 сократится и останется только разность энергий элементов 1–1^' и 2–2^'. Если учесть уравнение расхода вдоль струйки

v₁dS₁= v₂dS₂,

нетрудно заметить, что объемы, а следовательно, и силы тяжести заштрихованных элементов 1–1^' и 2–2^'равны между собой

dG= r₁gdS₁v₁dt- r₂gdS₂v₂dt.

Тогда общая работа, совершенная силами тяжести, равна

A_G= (z₁- z₂)dG.

Следовательно, в соответствии с формулой (9.2) имеем

A=p₁dS₁v₁dt-p₂dS₂v₂dt+r₁gdS₁v₁dt-r₂gdS₂v₂dt. (9.3)

Найдем приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt. Надо из кинетической энергии объема 1^'–2^' вычесть кинетическую энергию объема 1–2. При этом кинетическая энергия промежуточного объема 1^'–2сократится и останется только разность кинетических энергий элементов 2–2^' и 1–1^', сила тяжести каждого из которых равна dG.

Таким образом,

dT= T₂- T₁= dG/2g(v₂²- v₁²).

Лист

Следовательно, приравняв между собой сумму работ всех действующих сил и изменение кинетической энергии, получим

p₁dS₁v₁dt-p₂dS₂v₂dt+(z₁ - z₂)dG = dG/2g (v₂² - v₁²).

Сокращая это уравнение на dG и проведя некоторые преобразования, окончательно получим

z₁+ p₁/rg+ v₁²/2g = z₂+ p₂/rg+ v₂²/2g. (9.4)

Уравнение (9.4) получено для двух произвольно взятых живых сечений, следовательно, оно справедливо для любых живых сечений и может быть записано

z + p/rg+ v²/2g = const. (9.5)

Полученное уравнение называетсяуравнениемБернулли для элементарной струйкиидеальной жидкости. Это уравнение также называется основным уравнением гидродинамики для идеальной жидкости.

Физический смысл уравнения Бернулли обычно рассматривается с двух точек зрения: гидравлической и энергетической.

Гидравлический смыслуравнения Бернуллиобусловлен значением каждого его члена.

Первый член z-это высота расположения центра тяжести некоторого элементарного объема жидкости относительно произвольно проведенной оси ОX. В дальнейшем эту ось будем называтьосью сравнения и обозначать О–О, а горизонтальную плоскость, проведенную через эту ось, -плоскостью сравнения.

Подсоединим к некоторому трубопроводу, заполненному жидкостью, U-образную трубку (рис. 9.3,а), колено которой размещается в плоскости сравнения. Тогда жидкость в трубке поднимется на высоту z. Таким образом, можно сказать, что жидкость обладает некоторым напором, который называется геометрическим напором.Этот напор не является величиной постоянной, так как его значение зависит от выбора положения плоскости сравнения.

Рис. 9.3. Виды напора жидкости:

а– геометрический напор; б – пьезометрический напор; в – скоростной напор в открытом потоке; г – виды напора в трубопроводе

Второй членh_р =p/rg-этопьезометрическая высота илипьезометрический напор. На такую высоту поднялась бы жидкость по пьезометрической трубке под действием избыточного или манометрического давления(рис. 9.3,б).

Третий член h_v= v²/2g -этоскоростная высота или скоростной напор. Этот напор в открытом, безнапорном русле измеряется изогнутой трубкой -трубкой Пито (рис. 9.3,в), а в закрытом трубопроводе – при помощи двух: пьезометрической трубки и трубки Пито (рис. 9.3,г). Разность уровней жидкости в этих трубках и характеризует скоростной напор.

Таким образом, каждый член уравнения Бернулли характеризует тот или другой вид напора жидкости. Поэтому уравнение Бернулли в целом отражает полный напор жидкости H в любом живом сечении, и оно может быть записано

z+ p/rg+ v²/2g= H. (9.6)

Энергетический смысл уравнения Бернуллистановится ясным, если уравнение (7.6) умножить на вес G= mg некоторого количества жидкости

mgz+ mp/r+ mv²/2g = mgH.

Лист

Третий член этого уравнения -это кинетическая энергия частиц жидкости; два первых члена уравнения отражают второй вид энергии – потенциальную энергию, причем первый член отражает энергию положения, а второй – энергию давления.

Разделив уравнение на mg, получим значение удельной энергии

z+ p/rg+ v²/2g= E, (9.7)

где z – удельная энергия положения, м; p/rg– удельная энергия давления, м; v²/2g – удельная кинетическая энергия, м; E – полная удельная механическая энергия (E = H), м.

Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что каждый член этого уравнения характеризует тот или иной вид удельной энергии, а уравнение в целом – полную удельную энергию жидкости в любом живом сечении.

Потенциальная энергия mgz и кинетическая энергия mv²/2g известны из курса механики и в равной мере свойственны твердым и жидким телам. Энергия давления p/rgявляется специфической для движущихся жидкостей. В процессе движения идеальной жидкости одна форма энергии превращается в другую, однако полная энергия жидкости E остается неизменной. Энергия давления может быть легко преобразована в механическую работу при помощи силового цилиндра.

Линейная размерность членов уравнения Бернулли позволяет, вычислив их значения для различных живых сечений построить график, иллюстрирующий изменение видов напора по длине струйки (рис. 9.4).

Рис. 9.4. Графическая иллюстрация уравнения

Бернулли для идеальной жидкости

Представим движение жидкости в виде элементарной струйки с переменной площадью живых сечений. Выбираем на этой струйке несколько характерных живых сечений и проводим плоскость сравнения О–О и линию напора. В живых сечениях откладываем в соответствующем масштабе геометрический, пьезометрический и скоростной напоры. Соединяя соответствующие точки, получим три линии: линию геометрического напора (осевая линия струйки), пьезометрического напораи линию скоростного напора.

Если скорость движения жидкости увеличить, скоростной напор во всех живых сечениях увеличится, а пьезометрический напор уменьшится.

При некоторой скорости движения жидкости, например, в живом сечении 2–2, пьезометрический напор может быть меньше атмосферного (см. на рис. 9.4 -пунктирная линия).

Приведенный график дает наглядное представление о значениях того или иного напора жидкости (или в соответствующем масштабе – энергии) по длине потока и применяется при расчете гидравлических систем.

Лист