Комплексный потенциал, комплексная скорость

Из теории комплексной переменной известно, что если две функции φ и ψ, зависящие от х и у, удовлетворяют условиям Коши-Римана, то комплексная величина будет не просто зависеть, а являться функцией от комплексной переменной , то есть существует некоторая функция , действительной частью которой является φ, а мнимой ψ. .

Функция имеет большое значение при изучении плоских потенциальных течений и называется комплексным потенциалом или характеристической функцией течения.

Так как является аналитической функцией от , то ее производная не зависит от направления дифференцирования, а зависит только от положения точки в пространстве, то есть

по условию Коши-Римана:

Если вектор U разложить в комплексной плоскости годографа U, то .

Производная от комплексного потенциала дает зеркальное изображение комплексной U относительно действительной оси. Обозначим ее как .

В теории комплексной переменной числа и называют сопряженными, назовем как сопряженную U. Таким образом, производная от комплексного потенциала определяет .

Таким образом, если изменяется какое-то плоское потенциальное течение, то для него можно подобрать уравнение комплексного потенциала, проанализировать его и просчитать составляющие U в любой точке. С другой стороны для любого потенциала можно определить вид течения.

16.17.Частные случаи плоских потенциальных течений.

1. Плоско параллельный поток:

Рассмотрим комплексный потенциал - , где а – действительное число.

и

- семейство прямых, параллельных оси у. - уравнение функции тока.

Линии тока - семейство прямых, параллельных оси х. - уравнение эквипотенциальных поверхностей.

Для построения поля скоростей возьмем производные ;

Таким образом, рассмотренный потенциал описывает плоское течение потока вдоль оси х. Величину а можно рассматривать как скорость внешнего (набегающего) потока, .

2. Источник и сток.

Рассмотрим комплексный потенциал , а – действительное число ( ), тогда

Уравнение для потенциала: . - эквипотенциальные линии, семейство окружностей с центром в точке (0,0).

- уравнение функций тока. - семейство прямых, проходящих через точку (0,0).

Характер (вид) течения определяет знак при а. Если a>0, то это источник, если a<0, то это – сток.

- объемный расход; ;

Если разместить источник и сток рядом то получится следующая картина.

Если их свести вместе, то получится диполь.

3. Рассмотрим комплексный потенциал:

Уравнение эквипотенциальных линий - семейство окружностей, проходящих через точку (0,0) с центрами на оси х.

Уравнение для линий тока - семейство окружностей, проходящих через точку (0,0) с центрами на оси у.

4. Рассмотрим комплексный потенциал вида:

Г – циркуляция вектора скорости – круговое течение потока.

- семейство прямых, проходящих через точку (0,0).

Это уравнение эквипотенциальных линий.

- функция тока; - линии тока – семейство окружностей с центром в (0,0).

- радиальная скорость;

Исследованный потенциал определяет течение, которое называется потенциальным вихрем.

Окружная скорость изменяется по гиперболе.