Сложение ускорений точки в общем случае переносного движения

Абсолютное ускорение точки определим вычислением полной производной по времени от абсолютной скорости (128). Имеем

.

Для полных производных от векторов и , применим формулу Бура. Получим

, .

Учитывая, что

, , , ,

получим для абсолютного ускорения

. (130)

В этой формуле первые три слагаемых составляют ускорение точки свободного твердого тела в общем случае его движения вместе с подвижной системой осей координат относительно неподвижной. Первое слагаемое – ускорение точки , и – соответственно вращательное и осестремительное ускорения точки , если бы она двигалась только вместе с подвижной системой осей координат, не имея в рассматриваемый момент времени относительного движения. После этого (130) примет вид

, (131)

где

. (132)

Ускорение называется ускорением Кориолиса. Иногда его также называют добавочным (или поворотным) ускорением.

Формула (131) выражает теорему сложения ускорений точки, или кинематическую теорему Кориолиса: абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений – переносного, относительного и Кориолиса.

Переносное ускорение рассматривалось при изучении движения свободного твердого тела. Относительное ускорение изучалось в кинематике точки. Его можно выразить в двух формах в зависимости от способа задания относительного движения. При координатном способе задания в декартовых координатах

,

где – координаты движущейся точки относительно подвижной системы осей координат; – единичные векторы этих осей. При естественном способе задания движения

, , ,

где – расстояние от начала отсчета до точки по траектории относительного движения; – радиус кривизны этой траектории. В частном случае, когда переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси, переносное ускорение

,

где касательное переносное ускорение

,

причем – кратчайшее расстояние от движущейся точки до оси вращения. Нормальное переносное ускорение

.

Абсолютное ускорение в этом случае

. (133)

УСКОРЕНИЕ КОРИОЛИСА

Рассмотрим ускорение Кориолиса и его свойства. Оно определяется формулой (132)

.

Угловую скорость вращательной части движения подвижной системы отсчета, т. е. угловую скорость переносного движения, обозначили как .

Ускорение Кориолиса является результатом взаимного влия­ния двух движений: переносного и относительного. Часть его получается вследствие изменения переносной скорости точки из-за относительного движения. Другая его часть, тоже , есть результат изменения относительной скорости вследствие переносного движения. Это следует из анализа формул при выводе абсолютного ускорения.

Модуль ускорения Кориолиса в соответствии с (132) определяется выражением

. (134)

Для определения ускорения Кориолиса очень удобно правило Н. Е. Жуковского. Оно основано на формуле (132). Пусть имеем точку , движущуюся с относительной скоростью , (рис. 66). Построим плоскость , перпендикулярную угловой скорости переносного вращения , и спроецируем на эту плоскость. Проекцию обозначим . Она является вектором; ее модуль

.

Ускорение Кориолиса выразится в форме

. (134')

Учитывая (132) и (134'), получаем правило Жуковского: модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; чтобы получить направление ускорения Кориолиса, следует вектор проекции относительной скорости повернуть на 90° вокруг оси, параллельной оси переносного вращения, в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса. Из (134) следует, что , если:

1) , т.е. переносное движение является поступательным;

2) , т.е. в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;

3) , т.е. когда скорость относительного движения параллельна угловой скорости переносного вращения .

6. СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА

В простейшем случае рассматривают сложение двух движений твердого тела, одно из которых является переносным, другое – относительным. Относительным движением твердого тела считают его движение, в простейшем случае поступательное или вращательное, относительно подвижной системы осей координат, движущейся относительно другой, основной или неподвижной, системы координат, т.е. системы координат, движение которой относительно других систем координат не рассматривается. Переносным движением твердого тела называют его движение, тоже в простейшем случае поступательное или вращательное, вместе с подвижной системой координат в рассматриваемый момент времени относительно неподвижной. Сложным движением твердого тела называется его движение относительно основной или неподвижной системы координат. Составление сложного движения из переносного и относительного в простейшем случае или нескольких переносных и относительных движений в общем случае, называют сложением движений твердого тела. Обратный процесс называется разложением движения твердого тела на составляющие движения. Этот процесс всегда возможен и для него справедливы формулы, полученные для сложения движений твердого тела.

Плоское и движение свободного твердого тела считают уже сложными. В общем случае переносное и относительное движения твердого тела могут быть любыми сложными движениями тела.

При рассмотрении сложного движения твердого тела, состоящего из нескольких движений, рассматривают сложение его движений не за конечный промежуток времени, а в рассматриваемый момент времени, т.е. в действительности рассматривается сложение скоростей линейных и угловых. Для вычисления ускорений точек тела следует использовать формулу для сложного движения точки или формулы для ускорений точек того движения твердого тела, которое получается в результате сложения движений.