Частица в потенциальной яме

Согласно классической физике, финитное движение частицы происходит в ограниченной области пространства — потенциальной яме, определяемой физической природой взаимодействия частиц. Иными словами, потенциальная яма есть область, в которой на частицу действует сила, удерживающая ее в этой области. Термин «потенциальная яма» происходит от вида графика, изображающего зависимость потенциальной энергии частицы от координат, и применяется как в классической, так и в квантовой теории. Основное свойство потенциальной ямы — удерживать частицу, кинетическая энергия

которой меньше глубины ямы; такая частица внутри потенциальной ямы

будет находиться в связанном состоянии.

Связанное состояние — это состояние системы частиц, при котором их относительное движение происходит в ограниченной области пространства (т. е. является финитным) в течение длительного времени по сравнению с характерными для данной системы периодами. В природе существует огромное число связанных систем: от звездных скоплений и макроскопических тел до микрообъектов — молекул, атомов, ядер.

В классической механике частица с энергией, меньшей глубины потенциальной ямы, попав в нее, не сможет выйти и будет двигаться внутри ямы;

положение частицы на дне ямы отвечает устойчивому равновесию и соответствует нулевой кинетической энергии. Если же энергия частицы превышает глубину потенциальной ямы, то она преодолевает действие сил притяжения и свободно покидает яму. Примером может служить движение упругого шарика, находящегося в поле сил земного притяжения, в обычной яме с жесткими стенками (рис. 5.1). Шарик массы m с энергией

Е₁ < U

не может покинуть потенциальную яму глубиной

U = mgН,

где - g — ускорение силы тяжести, а Н — высота ямы (обычной), в которую попал

шарик, и будет совершать колебания между точками 1 и 2 (если пренебречь

трением), поднимаясь лишь до высоты

h = E₁/(mg).

Pis. 5.1

Если же энергия шарика

Е₂ > U,

то он покинет яму и уйдет на бесконечность с постоянной скоростью v, определяемой из соотношения

mv²/2 = Е₂ - U.

В отличие от классической механики, в квантовой механике энергия, которой может обладать частица, находясь в потенциальной яме в связанном состоянии, принимает не непрерывные, а дискретные значения, т. е. существуют дискретные уровни энергии, причем наинизший (основной) уровень лежит выше дна ямы. Действительно, вследствие квантовомеханического соотношения неопределенностей между координатой х и импульсом р частицы Δр Δх ~ ћ локализация частицы (Δх —>• 0) вблизи минимума потенциала приводит к большому значению ее средней кинетической энергии (из-за большого разброса в значениях импульса Δр ~ ћ/Δх). С другой стороны, уменьшение степени локализации (Δх ≠ 0) приводит к увеличению средней потенциальной энергии, так как частица проводит значительное время в области пространства, где потенциал превышает минимальное значение.

Энергия основного состояния соответствует наименьшей возможной полной энергии квантовомеханической системы, совместимой с соотношением неопределенностей .

В предыдущей главе уже упоминалось, что дискретность энергетических уровней микрочастицы, находящейся в какой-либо потенциальной яме, отчетливо проявляется в спектрах излучения и поглощения атомов, молекул, ядер. Ярким подтверждением дискретности атомных уровней являются эксперименты по возбуждению и ионизации атомов электронным ударом, впервые проведенные в 1913 г. Д. Франком и Г. Герцем (см. гл. 3). В этой главе мы рассмотрим ряд примеров стационарных состояний микрочастицы, находящейся во внешнем потенциальном поле.

Начнем наше рассмотрение с простейшей квантовомеханической задачи о частице массы т в одномерном потенциальном «ящике» с бесконечными стенками и шириной а (см. рис. 4.1). Фактически, мы эту задачу уже решали, когда обсуждали в предыдущей главе движение электрона между двумя абсолютно отражающими стенками. Посмотрим, как ее решение получается непосредственно из уравнения Шредингера.

Стационарное уравнение Шредингера (4.23) в данном случае имеет вид

,

или

(5.1)

Решением этого уравнения является функция

где

(5.2)

Физические условия на ψ-функцию на границах (0, а) совершенно понятны — сквозь бесконечный потенциальный барьер частица не может даже протуннелировать, и, в силу непрерывности волновой функции, это приводит к условиям на границах потенциала

ψ|_{х = 0}, _а = 0 (5.3)

Значит, решение (5.2) уравнения (5.1) можно записать в виде

ψ = С sin(kх) (5.4)

со следующим из (5.3) и (5.4) условием

kа = nπ.

Последнее определяет

возможные значения k, а следовательно, и дискретные значения энергии Е,

которые в силу связи k и Е (5.2) равны

(5.5)

Случай n = 0 означает, что нет частицы вообще, т. е. решением не является. Напомним, что именно граничные условия определяют дискретность