Частица в потенциальной яме

Потенциальной ямой называется область пространства, в которой потенциальная энергия меньше, чем в окружающем пространстве. Например, атом для электрона, ядро атома для протонов и нейтронов, объем металла для электронов. Классической потенциальной ямой является обычная яма на поверхности Земли, например для шарика. Но если движение шарика подчиняется законам классической механики Ньютона, то движение электрона в атоме, оказывается, подчиняется не законам Ньютона, а законам квантовой механики. Рассмотрим простейшую задачу квантовой механики о движении частицы в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Пусть частица массы m находится в потенциальной яме шириной l, внутри которой потенциальная энергия равна нулю, а за пределами ямы бесконечно высока (рис. 1). Пусть частица движется вдоль координатной оси х перпендикулярно стенкам. Применим для решения задачи амплитудное уравнение Шредингера

. 8.1

Чтобы за пределами ямы выполнялось равенство нулю уравнения при бесконечно большом значении потенциальной энергии, приходится положить значение пси-функции вне ямы равным нулю, ψ = 0. То есть появляться за пределами ямы частице запрещено.

Внутри ямы уравнение Шредингера принимает вид . Здесь введено обозначение . Будем искать решение этого дифференциального уравнения в виде суммы гармонических функций .

Определим постоянные интегрирования А и В. Из условия непрерывности пси-функции на границах ямы пси-функция должна быть равной нулю. Подставив в искомое решение х = 0, получим , откуда В = 0. Подставив x = l, получим . Это возможно, если , то есть число n = 1, 2, 3…принимает целые значения. Такие решения уравнения Шредингера называются собственными функциями

. 8.2

На рис. 2 изображены графики нескольких собственных функций и их квадратов. Если в классической потенциальной яме шарик с равной вероятностью может оказаться в любом месте ямы, то квантовая частица чаще, с большей вероятностью, находится там, где квадрат пси функции имеет наибольшее значение. Лишь при огромном значении квантового числа n наиболее вероятные положения частицы сближаются, приближаясь к классическому распределению.

Подставим в условие квантования соотношение параметра с энергией , получим самый важный вывод квантовой механики: энергия частицы, запертой в потенциальной яме, может принимать не любые, а только дозволенные значения энергии:

(6)

Чем меньше размер потенциальной ямы, тем энергия выше. Например, электрон в атоме (l= 10^{-10 м) имеет по этой формуле энергию около 10 эВ, а если его локализовать в ядре атома (}l =10^{-14 м), то его энергия должна быть в 108 раз больше. Столь огромной энергией, во много раз большей энергии покоя (109} эВ >> 0,51∙10⁶ эВ), электрон обладать не может и значит внутри ядра он существовать не может.

3. Прохождение частиц через потенциальный барьер

9. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНОТОВОЙ МЕХАНИКЕ

1. Уравнение Шредингера для атома водорода

2. Решение радиальной части уравнения, квантование энергии атома

3. Решение угловой части уравнения, квантование орбитального момента импульса и проекции момента импульса электрона

4. Спин электрона, Опыты Штерна– Герлаха.

5. Принцип Паули, распределение электронов в многоэлектронных атомах. Таблица Менделеева.

10. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА