Основные способы вычисления углового ускорения при плоском движении

При вычислении ускорений точек фигуры при плоском движении необходимо знать угловое ускорение. Рассмотрим некоторые приемы его определения.

1. Если известен угол поворота или угловая скорость в зависимости от времени, то угловое ускорение определяем путем дифференцирования их по времени, т. е.

.

2. Обычно требуется определить угловое ускорение в какой-либо момент времени по другим величинам, известным в этот же момент времени. В этом случае угловое ускорение тоже можно получить путем дифференцирования угловой скорости по времени, считая ее для вывода формулы известной функцией времени. Угловую скорость можно найти по формуле (79):

,

где – точка плоской фигуры; – мгновенный центр скоростей. Дифференцируя по времени, получаем:

.

В тех случаях, когда постоянно,

, (92)

так как

, ,

где – касательное ускорение точки .

Так, например, при качении колеса без скольжения по неподвижной прямой линии, если за точку взять центр колеса , то, учитывая, что он движется прямолинейно, получим:

,

так как в этом случае

, ,

где – радиус колеса.

При качении без скольжения одного колеса по неподвижному другому колесу сначала установим зависимость между угловой скоростью подвижного колеса и угловой скоростью кривошипа (рис. 49). Учитывая, что мгновенный центр скоростей подвижного колеса лежит в точке соприкосновения колес, получаем

, (93)

где –радиус неподвижного колеса, – радиус подвижного колеса.

Дифференцируя по времени (93), имеем

, (94)

т. к. , .

Из сравнения (93) и (94) видно, что связь между угловыми скоростями и угловыми ускорениями колес полностью аналогична. Это справедливо и для углов поворота колес, если нулевые их значения выбрать в один и тот же момент времени.

При внешнем зацеплении дуговые стрелки угловой скорости и углового ускорения подвижного колеса совпадают с дуговыми стрелками соответственно угловой скорости и углового ускорения кривошипа .

При внутреннем зацеплении колес дуговые стрелки и , колеса и кривошипа имеют противоположные направления.

3. Иногда угловое ускорение можно найти путем проецирования на оси координат известного по направлению ускорения, например точки , если ускорение какой-либо другой точки и угловая скорость фигуры известны или их можно вычислить предварительно. Так, если ускорение точки

, (95)

то, проецируя обе части (95) на ось , перпендикулярную ускорению , получаем соотношение, из которого можно определить угловое ускорение, если другие величины, входящие в это соотношение, известны.