Векторы угловой скорости и углового ускорения

Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела. Если Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – единичный вектор оси вращения, направленный в ее положительную сторону, то векторы угловой скорости Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru и углового ускорения Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru определяют выражениями:

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (73)

Так как Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – постоянный по модулю и направлению вектор, то из (63) следует, что

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (74)

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru При Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru и Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru направления векторов Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru и Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru совпадают. Они оба направлены в положительную сторону оси вращения Оz (рис. 31, а). Если Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru и Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , то они направлены в противоположные стороны (рис. 31, б). Вектор углового ускорения совпадает по направлению с вектором угловой скорости при ускоренном вращении и противоположен ему при замедленном. Векторы Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru и Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru можно изображать в любых точках оси вращения.

Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru Выразим скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки тела в векторной форме (рис. 32). Скорость точки по модулю и направлению можно представить векторным произведением

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , (75)

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru где Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – радиус-вектор точки Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , проведенный из произвольной точки оси вращения Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , например точки Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . Выражение (75) называется векторной формулой Эйлера.

Из определения ускорения и векторной формулы Эйлера имеем:

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (76)

Первое слагаемое в (76) является касательным ускорением, а второе – нормальным, т. е.

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (77)

Сложное движение точки

Для изучения некоторых, более сложных видов движений твердого тела целесообразно рассмотреть простейшее сложное движение точки. Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Так, движение космического корабля, движущегося к Луне, требуется рассматривать одновременно и относительно Земли и относительно Луны, которая движется относительно Земли. Любое движение точки можно считать сложным, состоящим из нескольких движений.

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения. Пусть имеем две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга. Если одну из этих систем Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru (рис. 33) принять за основную или неподвижную (ее движение относительно других систем отсчета не рассматривается), то вторая система отсчета Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru будет двигаться относительно первой. Движение точки относительно подвижной системы отсчета Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru называется относительным. Характеристики этого движения, такие, как траектория, скорость и ускорение, называются относительными. Их обозначают индексом Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru ; для скорости и ускорения Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru и Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . Движение точки относительно основной, или неподвижной, системы отсчета Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru называется абсолютным (или сложным). Его также иногда называют составным движением. Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Скорость и ускорение абсолютного движения обозначают буквами Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru и Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru без индексов. Переносным движением называют движение подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной. Вследствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки тела Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обозначают Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru и Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru .

Теорема сложения скоростей: скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме скоростей переносного и относительного движений этой точки

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (78)

Так как в общем случае скорости переносного и относительного движений не перпендикулярны, то

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru .

Абсолютную скорость можно представить в виде:

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (79)

Скорость

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru

является скоростью точки свободного твердого тела, скрепленного с подвижной системой координат, с которой в данный момент совпадает точка Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru в движении тела относительно неподвижной системы осей координат. Это есть переносная скорость точки Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru .

Теорема сложения ускорений точки (кинематическая теорема Кориолиса): абсолютное ускорение точки является векторной суммой трех ускорений – переносного, относительного и Кориолиса

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , (80)

где

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (81)

Ускорение Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru называется ускорением Кориолиса. Иногда его также называют добавочным (или поворотным) ускорением.

Абсолютное ускорение можно также представить в виде:

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (82)

В этой формуле первые три слагаемых составляют ускорение точки свободного твердого тела в общем случае его движения вместе с подвижной системой осей координат относительно неподвижной. Первое слагаемое Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – ускорение точки Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru и Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – соответственно вращательное и нормальное ускорения точки Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , если бы она двигалась только вместе с подвижной системой осей координат, не имея в рассматриваемый момент времени относительного движения.

При координатном способе задания в декартовых координатах

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru ,

где Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – координаты движущейся точки относительно подвижной системы осей координат; Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – единичные векторы этих осей. При естественном способе задания движения

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru ,

где Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – расстояние от начала отсчета до точки по траектории относительного движения; Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – радиус кривизны этой траектории. В частном случае, когда переносное движение есть вращение вокруг неподвижной оси, переносное ускорение

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru ,

где касательное переносное ускорение

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru ,

причем Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru – кратчайшее расстояние от движущейся точки до оси вращения. Нормальное переносное ускорение

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru .

Абсолютное ускорение в этом случае

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (83)

Ускорение Кориолиса

Рассмотрим ускорение Кориолиса и его свойства. Оно определяется формулой (81)

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru .

Угловую скорость вращательной части движения подвижной системы отсчета, т.е. угловую скорость переносного движения, обозначили как Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru .

Ускорение Кориолиса является результатом взаимного влия­ния двух движений: переносного и относительного. Часть его Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru получается вследствие изменения переносной скорости точки из-за относительного движения. Другая его часть, тоже Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , есть результат изменения относительной скорости вследствие переносного движения.

Модуль ускорения Кориолиса в соответствии с (81) определяется выражением

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (84)

Для определения ускорения Кориолиса очень удобно правило Жуковского Н. Е. Оно основано на формуле (81). Пусть имеем точку Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , движущуюся с относительной скоростью Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , (рис. 34). Построим плоскость Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , перпендикулярную угловой скорости переносного вращения Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , и спроецируем Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru на эту плоскость. Проекцию обозначим Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . Она является вектором; ее модуль

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru .

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru Ускорение Кориолиса выразится в форме

Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru . (84')

Учитывая (81) и (84'), получаем правило Жуковского: модуль ускорения Кориолиса равен удвоенному произведению угловой скорости переносного вращения на модуль проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения; чтобы получить направление ускорения Кориолиса, следует вектор проекции относительной скорости Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru повернуть на 90° вокруг оси, параллельной оси переносного вращения, в направлении этого вращения.

Рассмотрим случаи обращения в нуль ускорения Кориолиса. Из (84) следует, что Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , если:

1) Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , т.е. переносное движение является поступательным;

2) Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , т.е. в те моменты времени, в которые происходит изменение направления относительного движения;

3) Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru , т.е. когда скорость относительного движения Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru параллельна угловой скорости переносного вращения Векторы угловой скорости и углового ускорения - student2.ru .

ЛЕКЦИЯ № 5

Наши рекомендации