Потенциальная энергия упругих тел

Существует еще один вид потенциальной энергии, связанный с упругим взаимодействием молекул при небольших деформаци­ях почти всех тел. Для наглядности рассмотрим сжатую пружину

где k — жесткость пружины; х — ее деформация.

Из приведенных примеров видно, что энергию можно накопить в форме потенциальной энергии (поднять тело, сжать пружину) для последующего использования. Кроме того, следует заметить,

что, если для кинетической энергии тела (частицы) существует единое универсальное выражение, то для потенциальной энергии такого выражения нет; аналитический вид формул для вычисле­ния потенциальной энергии зависит от рассматриваемых сил. По­тенциальная энергия всегда связана с той или иной силой, дейст­вующей со стороны одного тела на другое. Например, Земля силой тяжести действует на падающий предмет, сжатая пружина — на шарик, натянутая тетива — на стрелу. Потенциальная энергия это не то, что присуще самому телу: она всегда связана со взаимодей­ствием тел.

Потенциальная энергия — это энергия, которой обладает тело благодаря своему положению по отношению к другим телам, или благодаря взаимному расположению частей одно­го тела.

Рассмотрим случай, когда в процессе движения тела работу со­вершают только консервативные силы. Тогда можно записать:

или

Таким образом, в данном случае сумма кинетической и потен­циальной энергий тела осталась неизменной. Эта сумма называ­ется полной механической энергией тела.

Полной механической энергией тела называется сумма его потенциальной и кинетической энергий:

Мы получили закон сохранения механической энергии.

Если в системе действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия входящих в систему тел не изменяется: Е = const.

Иными словами, для любых двух моментов времени полные ме­ханические энергии одинаковы:

сохраняется, а лишь указывает условие, при котором такое сохра­нение имеет место: работу должны совершать только консерва­тивные силы. В этом случае при движении тела происходит пере­ход кинетической энергии в потенциальную или наоборот.

Если при движении на тело действуют не консервативные силы, которые совершают работу, то полная механическая энергия не сохраняется. В этом случае ее изменение равно этой работе:

Примеры

1) Падение камня

Тело падает на землю с высоты h_o без начальной скорости, а силой сопротивления воздуха можно пренебречь (рис. 9.5). На тело действует только сила тяжести, которая является консерва­тивной. Следовательно, полная механическая энергия сохраня­ется.

Закон сохранения энергии в механике имеет ограниченный характер. Он не утверждает, что механическая энергия всегда

Запишем закон сохранения энергии для двух положений: начального (1) и конечного (2) — тело подлетело к земле:

"| 74 Глава 9.

Законы сохранения

Глава 9. -| 75 Законы сохранения

В исходном положении скорость движения равна нулю и тело обладает только потенциальной энергией: £, = mgh_Q. При падении камня потенциальная энергия уменьшается, но увеличивается его кинетическая энергия. В конечной точке траектории высота рав­на нулю, скорость движения максимальна (и_к) и тело обладает толь-

2) Движение велосипедиста по холмистой местности

Пусть велосипедист начинает скатываться с вершины холма и, прой­дя ложбину, поднимается по инерции на соседний холм (рис. 9.6). Допустим, что сопротивлением воздуха и трением качения можно пренебречь. Тогда на велосипедиста действуют две силы: консерва­тивная сила тяжести (mg) и сила нормального давления со стороны дороги (N). Последняя сила перпендикулярна направлению движе­ния и работы не совершает. Поэтому полная механическая энергия велосипедиста сохраняется: £_к + Е_п. = const.

При спуске с холма потенциальная энергия переходит в кине­тическую, которая достигает максимума у подножия холма. Далее велосипедист начинает вкатываться на другой холм. При этом ки­нетическая энергия переходит в потенциальную.

Рис. 9.6. Велосипедист, съезжающий с холма

Если высота второго холма меньше высоты первого, то при подъе­ме на его вершину велосипедист израсходует не всю кинетическую

энергию. Поэтому он минует вершину и скатится с противоположно­го склона второго холма.

Если высота второго холма больше высоты первого, то велосипе­дист израсходует всю кинетическую энергию, не достигнув верши­ны, и остановится. Это произойдет на высоте, равной первоначаль­ной. Для того, чтобы перевалить через вершину, велосипедист должен увеличить механическую энергию за счет работы ног.

В реальном случае велосипедист испытывает действие силы тре­ния, которая совершает отрицательную работу. Поэтому, если велосипедист не работает ногами, полная механическая энергия сохраняться не будет:

Для того, чтобы поддерживать механическую энергию неизмен­ной, велосипедист должен компенсировать отрицательную ра­боту силы трения положительной работой своих мышц

Отсюда следует, что, чем меньше сила трения, тем меньшая ра­бота требуется от мышц, тем меньше утомление и выше результа­ты. Поэтому фирмы, занимающиеся производством спортивной техники и спортивной одежды, ведут постоянные исследования, направленные на уменьшение силы трения.

В некоторых случаях механическая энергия сохраняется при передаче энергии от одного тела к другому. Например, потенци­альная энергия, запасенная в натянутой тетиве лука, преобразу­ется в кинетическую энергию стрелы.

Энергетика прыжков