Изменение средних значений физических величин со вре-

временем.

Из классической механики известно, какое важное значе-

значение имеют в ней законы изменения величины с течением времени.

Достаточно напомнить формулу (см. ч. I, (9.1))

91F

dt '

выражающую основное уравнение динамики материальной точки,

или формулы (см. ч. I, (10.4), (12.1))

А. Г—м —Т t)F

dtL-M> dt l~Vt'

дающие законы изменения момента импульса и кинетической

энергии.

Естествен вопрос об описании изменений с течением времени

физических величин в микромире. Поскольку в общем случае ве-

величина не имеет определенного значения, следует обратиться к ее

среднему значению. Среднее значение величины зависит от времени,

если состояние системы нестационарно или если в ее оператор входит

время. Это видно из формулы (8.7)

a(t) = \ty*(x, t)A(x, t)^(x, t)dx,

где в обозначениях показана зависимость от времени оператора и

волновой функции. _

Найдем полную производную от а по t:

x. (9.1)

Из уравнения Шредингера (8.3) следует, что

После подстановки выражений для производных от функции сос-

состояния в формулу (9.1) имеем

—=[ ■*,* dA-Thdx-\-^-[ {(Яф)*Лг|) — г|)МЯф} dx. (9.2)

dt ) at л J

Оператор Я является самосопряженным. Поэтому

\ (Лг|)) (Яф)* dx = \ г|)*Я (Лг|)) dx,

и выражение (9.2) принимает окончательный вид

da_

dt ''

Найденное соотношение решает вопрос об изменении средних

значений физических величин со временем. Из него, в частности,

вытекает, что среднее значение постоянно, если равен нулю

оператор:

2=|^+-L [Я, А]. (9.4)

При независящем от времени операторе А для сохранения вели-

величины достаточно, чтобы операторы Я и Л коммутировали. По-

92скольку оператор Н коммутирует сам с собой, то для сохранения

средней энергии необходимо, чтобы —=0. Это выполняется в по-

постоянных силовых полях.

Оператор (9.4) называется оператором производной физичес-

физической величины по времени, что подчеркнуто в его обозначении.

Операторная формула (9.4) и выражает закон изменения ве-

величины во времени. Располагая оператором некоторой физической

величины А и функцией состояния системы г|), можно вычислить

производнукк>т среднего значения этой величины, воспользовавшись

оператором А:

§=\**A*dx. (9.5)

Подведем итог. Для определения характера изменения физичес-

физической величины с течением времени нужно построить, используя опе-

оператор Гамильтона и оператор данной величины, оператор производ-

производной, а для него найти среднее в соответствующем состоянии.

Характерно, что в квантовой механике исходными для всей теории были

операторы импульса и координаты, отнюдь не связанные между собой классическим

соотношением р = тг. Располагая теперь правилом для построения операторов про-

производных величин, нетрудно найти оператор г, который можно назвать скоростью,

а оператор ?—ускорением. Однако онн определяются через оператор Гамильтона,

а не непосредственным дифференцированием (практического значения в квантовой ме-

механике не имеют).

9.2. Уравнения движения в форме Гейзенберга.

Формула (9.3)

или эквивалентное ей операторное соотношение (9.4) выражают

на математическом языке изменение физических величин — дина-

динамических переменных — со временем, и поэтому они называются

квантовыми уравнениями движения. Если операторы физических

величин, не содержат времени, то равенство (9.4) принимает вид

А=\\Н, А]. (9.6)

Оно называется уравнением движения в форме Гейзенберга и

может быть положено в основу квантовой механики при другой

схеме ее изложения вместо уравнения Шредингера (см. прило-

приложение III).

Чтобы раскрыть смысл уравнений (9.6), запишем их для важней-

важнейших операторов координаты и импульса (для простоты возьмем одно

измерение):

х=\[Н, х], (9.7)

Р = \[Н,р*\. (9.8)

Полученные уравнения могут быть сопоставлены с классическими

93уравнениями Гамильтона (см. ч. I, § 23, п. 3) —они называются

квантовыми уравнениями Гамильтона. Поскольку в них фигурируют

операторы, то для перехода к измеримым средним значениям физи-

физических величин Jc и ~рх необходимо располагать конкретной функцией

состояния и оператором Гамильтона.

Рассмотрим для примера движение микрочастицы в силовом поле

U (х, у, г). Как известно,

Подставим этот гамильтониан в (9.7). Операторы U (х, у, z),

—2 и —2 коммутируют с оператором координаты х. Поэтому нужно

вычислить только коммутатор —2 , х :

или

[Н, х]=—--f= —-Рх.

т ах т

Согласно уравнению (9.7) имеем окончательно

х=-^Рх. (9.9)

Смысл соотношения (9.9) ясен: средняя скорость микрочастицы

определяется отношением ее среднего импульса к массе, т. е. формула

дает классическое определение импульса через скорость для сред-

средних значений.

Для раскрытия уравнения (9.8) представим оператор Гамильто-

Гамильтона в виде

H=-^-(pl + pl + pl)+U (x, у, г).

Оператор рх коммутирует с первым слагаемым — оператором кине-

кинетической энергии — и не коммутирует со вторым слагаемым — опера-

оператором потенциальной энергии:

[О, рх]ф=—j

Поэтому

Из уравнения (9.8) вытекает

рх=-^£ . (9.10)

Точно так же можно показать, что в трехмерном случае

94p=-VU, (9.11)

что соответствует второму закону Ньютона в операторной

форме.

Итак, квантовые уравнения движения для координат и импульса

привели нас к операторной форме основного уравнения динамики. Это

одно из проявлений принципа соответствия: связь между операто-

операторами такая же, как между величинами в классической механике.