Определения положения центра тяжести

К аналитическим методам определения положения центра тяжести относятся метод разбиений и метод отрицательных площадей.

1. Метод разбиений.Метод заключается в мысленном разбиении тела на несколько простейших (конечных элементов), для которых известно положение центра тяжести. Используют формулы вида (2).

2. Метод отрицательных площадей.Заключается в том, что данное тело дополняют до простейшего. При этом дополняющие элементы (их вес, объем, площадь или длину) считают отрицательными.

Простейшими являются тела, у которых известно положение центра тяжести (ЦТ). Это: однородные диск и окружность, их ЦТ. находится в центре; прямоугольник и параллелограмм, их ЦТ находится в точке пересечения диагоналей; треугольник, его ЦТ находится в точке пересечения медиан. При этом следует учитывать, что медианы точкой их пересечения делятся в отношении 1:2 (рис. 26). Положение центра тяжести кругового сектора можно определить по формуле: ОС=2/3∙R∙ sinα/α, где α – половина центрального угла, выраженного врадианах (рис. 27). ЦТ тела, имеющего центр, плоскость или ось симметрии находится на них.

Из экспериментальных способов отметим методы взвешивания и подвешивания.

Метод взвешивания(рис. 28). По известным весу тела P, показаниям весов R и расстоянию a определяют расстояние х из уравнения: ∑m_O = - P∙x + R∙a; откуда

х = R∙a /P.

Метод подвешивания (применяется преимущественно для плоских тел).При этом способе тело подвешивают на нити сначала в одной точке и проводят линию, продолжающую нить, затем в другой точке. Точка пересечения этих линий определит положение ЦТ.

Трение скольжения

При попытке сдвинуть одно тело относительно другого возникает сила, препятствующая этому. Она называется силой трения.Гладкая поверхность – это идеализированная поверхность (без трения). Реальные поверхности обладают шероховатостью. Силу трения находят из уравнений равновесия. В предельном случае, предшествующем срыву, т.е. выходу из состояния покоя, силу трения можно определить по формуле: F_тр = N∙f, где N – сила нормального давления; f – коэффициент трения покоя (безразмерная величина, определяемая экспериментально).

Коэффициент трения не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, незначительно зависит от скорости. Коэффициент трения покоя больше коэффициента трения при движении и несколько уменьшается с увеличением скорости.

Реакция шероховатой поверхности R (рис. 29) есть сумма векторов нормальной реакции N и касательной реакции, т.е. силы трения. Реакция R отклонена от нормали. Максимальный угол отклонения реакции шероховатой поверхности от нормали φ называетсяуглом трения.Его можно найти по формуле: tg φ = F_тр/N = f. Если равнодействующая F внешних сил, приложенных к телу, проходит внутри угла трения, то тело не выйдет из равновесия при сколь угодно значительном модуле силы .

Трение качения

В теоретической механике все тела считаются абсолютно твердыми. В этом идеальном случае тело (рис. 30) вышло бы из состояния покоя при сколь угодно малой силе F, т.к. сумма моментов сил, приложенных к телу, не равна 0, однако этого не происходит. В действительности все тела деформируемы, поэтому нормальная реакция N (рис. 31) смещается в направлении действия силы F, образуя вместе с силой тяжести пару сил, препятствующую качению. Максимальное (предельное) смещение δ называется коэффициентом трения качения (измеряется в см или мм). В задачах теоретической механики, когда сопротивление качению необходимо учесть, цилиндрические тела считают абсолютно твердыми и к ним прикладывают момент M (момент сил сопротивления качению), препятствующий качению тела (рис. 32). Величина момента сил сопротивления качению определяется по формуле: M =N∙δ.

Условие, при котором начинается качение, имеет вид:

F ∙ R N ∙ δ или F N ∙ δ/R.

Здесь R – радиус цилиндра. Условие, при котором начинается скольжение:

F F_тр = f ∙ N.

Поскольку f >> δ/R, то при скольжении надо приложить силу во много раз большую, чем при качении.

Задача С1

Жесткая рама (рис. С1.0-С.1.9, табл. С1) находится под действием пары сил с моментом М = 20 кН×м и двух сосредоточенных сил, значения которых указаны в таблице. В точке С к раме прикреплен трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р=25 кН. Определить реакции связей, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять a= 0,5 м.

Указания.Задача С1 – на равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил. Данные для решения задачи взять из таблицы С1. При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие F’ и F’’, для которых плечи легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона, тогда

Таблица С1

Силы
F1= 10 кH	F2= 20 кH	F3= 30 кH	F4= 40 кH
Номер условия	Точка прило-жения	α1, град	Точка прило-жения	α2, град	Точка прило-жения	α3, град	Точка приложения	α4, град
	H		-	-	-	-	K
	-	-	D		E		-	-
	K		-	-	-	-	E
	-	-	K		H		-	-
	D		-	-	-	-	E
	-	-	H		-	-	D
	E		-	-	K		-	-
	-	-	D		-	-	H
	H		-	-	D		-	-
	-	-	E		K		-	-

ПримерC1

Изогнутый стержень (рама BCDА, рис. С1) имеет в точке А неподвижную шарнирную опору, а в точке В – подвижную шарнирную опору на катках. Все действующие нагрузки и размеры показаны на рисунке.

Дано: F = 25 кН, α = 60˚, Р = 18 кН, γ = 75˚, М = 50 кН×м, β = 30˚,

α = 0,5 м. Определить: реакции в точках А и В, вызываемые действующими нагрузками.
Решение.

1.Рассмотрим равновесие рамы. Введем координатные оси xy и изобразим действующие на раму силы: силу , пару сил с моментом М, натяжение троса (по модулю Т=Р) и реакции связей (реакцию неподвижной шарнирной опоры А изображаем двумя ее составляющими, реакцию подвижного шарнира направим перпендикулярно опорной плоскости).

2. Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия (основная форма). При вычислении момента силы относительно точки А воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. разложим силу на составляющие и учтем, что Получим:

(С1.1)

(С1.2)

(С1.2)

Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.

Ответ: x_А=-8,5 кН; y_А=-23,3 кН; R_B=7,3 кН. Знаки указывают, что силы и направлены противоположно показанным на рис. С1.

Задача С2

Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно (рис. С2.0 – С2.5), или свободно опираются друг о друга (рис. С2.6-С2.9).

На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М=60 кН×м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще две силы. Эти силы, направления и точки их приложения указаны в табл. С2; там же в столбце «Участок» указано, на каком участке действует распределенная нагрузка. Определить реакции связей в точках А, В, С и D, вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,2 м. Направление распределенной нагрузки на различных по расположению участках указано в табл. С2а.

Указания. Задача С2 на равновесие системы тел, находящихся под действием плоской системы сил. При ее решении можно рассмотреть сначала равновесие всей системы в целом, а затем – равновесие одного из тел системы, изобразив его отдельно, или же сразу расчленить систему и рассмотреть равновесие каждого из тел в отдельности, учтя при этом закон равенства действия и противодействия.

Таблица С2

Сила					Участок
F1= 10 кH	F2= 20 кH	F3= 30 кH	F4= 40 кH
Номер условия	Точка прило-жения	α1, град	Точка прило-жения	α2, град	Точка прило-жения	α3, град	Точка прило-жения	α4, град
	K		-	-	H		-	-	CL
	-	-	L		-	-	E		CK
	L		-	-	K		-	-	AE
	-	-	K		-	-	H		CL
	L		-	-	E		-	-	CK
	-	-	L		-	-	K		AE
	E		-	-	K		-	-	CL
	-	-	H		L		-	-	CK
	-	-	K		-	-	E		CL
	H		-	-	-	-	L		CK

Таблица С2а

Участок на угольнике	Участок на стержне
горизонтальный	вертикальный	рис. С.1,2,4,6,8	рис.С.0,3,5,7,9

ПримерC2. На угольник ABC (<ABC=90˚), конец А которого жестко заделан, в точке С опирается стержень DE (рис. С2 а).

Стержень имеет в точке D неподвижную шарнирную опору, и к нему приложена сила , а к угольнику – равномерно распределенная на участке КВ нагрузка интенсивности q и пара сил с моментом М.

Дано: F=10 кН, М =5 кН×м, q =20 кН/м, а = 0,2 м. Определить: реакции в точках А, С, D, вызванные заданными нагрузками.

Решение.

1. Для определения реакции расчленим систему и рассмотрим сначала равновесие стержня DE (рис. С2 б). Проведем координатные оси xy и изобразим действующие на стержень силы: силу , реакцию , направленную перпендикулярно стержню, и составляющие реакции шарнира D. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(С2.1)

(С2.2)

(С2.3)

2. Теперь рассмотрим равновесие угольника (рис. С2 в). На него действуют сила давления стержня , направленная противоположно реакции , равномерно распределенная нагрузка, которую заменяем силой , приложенной в середине участка КВ (численно Q = q×4a = 16 кН), пара сил с моментом М и реакция жесткой заделки, слагающаяся из силы, которую представим составляющими , и пары с моментом М_А. Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(С2.3)

(С2.4)

(С2.5)

При вычислении момента силы разлагаем ее на составляющие и и применяем теорему Вариньона. Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив систему уравнений (С2.1) – (С2.6), найдем

искомые реакции. При решении учитываем, что численно N′=N в силу равенства действия и противодействия.

Ответ: N= 21,7 кН, Y_D=-10,8 кН; Х_D=8,8 кН,Х_А=-26,8 кН, У_А = 24,7 кН,

М_А = - 42,6 кН×м. Знаки указывают, что силы и момент М_А направлены противоположно показанным на рисунках.

Задача С3

Ферма, состоящая из 7 стержней и пяти узлов, закреплена, как показано на рис. С3.0 - С3.9. В узлах фермы приложены две сосредоточенные силы, значения которых и точки их приложения указаны в таблице С3. Здесь же даны размеры фермы. Требуется методом вырезания узлов определить усилия во всех стержнях фермы. Для трех стержней фермы (по усмотрению студента) сделать проверку методом сечений. Указание. Вначале необходимо составить уравнения равновесия для всей фермы в целом и определить три неизвестные реакции опор.

Таблица С3

Силы
F1= 10 кH	F2= 20 кH	F3= 30 кH	F4= 40 кH
Номер условия	α , град	а, м	H, м	Точка приложения	α1, град	Точка приложения	α2, град	Точка приложения	α3, град	Точка приложения	α4, град
				С		-	-	-	-	D
				-	-	E		C		-	-
				E		-	-	-	-	C
				-	-	C		D		-	-
				C		-	-	-	-	D
				-	-	D		-	-	C
				E		-	-	C		-	-
				-	-	C		-	-	E
				C		-	-	E		-	-
				-	-	D		C		-	-

ПримерС3.

В узлах фермы С и D (рис. С3) приложены силы: F₁ =10 H, и F₂ =20 H. Определить усилия во всех стержнях фермы методом вырезания узлов. Кроме того, определить усилия в стержнях 2, 3, 4 методом сечений. Размеры указаны на рисунке.

1. Определим реакции опор: x_A, y_A, R_B.

Для этого составим уравнения равновесия для всей фермы в целом.

(С3.1)

(С3.2)

(С3.3)

Решая уравнения (С3.1) – (С3.2), находим: x_A = - 16,309 Н; y_A = 1,752 Н;

R_B = 15,297 Н.

2. Определим усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. Вначале будем полагать, что все стержни растянуты, тогда их реакции будут направлены вовнутрь стержней. Покажем все силы, действующие на узел А (рис. С3а). Поскольку в узле А сходится только 2 стержня, то усилия в этих стержнях можно определить из уравнений равновесия:

Отсюда

Тогда

Далее можно рассмотреть равновесие узла В ( в нем сходится два стержня) или узла С (рис. С3б). В узле С сходится три стержня, но усилие s₁ нами уже определено, поэтому из уравнений равновесия можно найти s₂ , s₃ .

Угол α определим из треугольника АЕС: , тогда α = 36,9º, и sin α = 0,6; cos α = 0,8.

Составим уравнения равновесия:

Решая эту систему уравнений, находим: s₃ = 11,254 H, s₂ = -17,663 H. Отрицательные значения усилий в первом и втором стержнях показывают, что эти стержни не растянуты, как предполагалось, а сжаты.

Далее можно рассмотреть равновесие узла Е и определить s₅ , s₆ . Из уравнения проекций на ось у для узла D можно найти усилие в седьмом стержне s₇. Уравнения равновесия для узла В должны обратиться в тождество, они являются уравнениями проверки.

3. Определим усилия в стержнях 2, 3, 4 методом сечений. Рассечем ферму сечением I-I (рис. С3в) и составим уравнения равновесия для части фермы, расположенной слева от сечения.

(3.4)

(3.5)

(3.6)

Из уравнения (С.3.4) находим s₂ = -17,663 H.

Из уравнения (С.3.5) находим s₃ = 11,254 H.

Из уравнения (С.3.6) находим s₄ = 16,309 H.

Сравнивая эти результаты с полученными ранее, делаем вывод, что задача решена правильно.

Задача С4

Шесть невесомых стержней соединены концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. С4.0-С4.9, табл. С4). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках

не показаны и должны быть изображены решающим задачу по данным таблицы. В узле, который в каждом столбце таблицы указан первым, приложена сила Р=200 Н; во втором узле приложена сила Q=100 H. Сила образует с положительными направлениями координатных осей х, y, z заданные углы, равные соответственно a₁ = 45°, b₁ = 60°, g₁ = 60°, а сила Q – углы a₂ = 60°, b₂ = 45°, g₂ = 60. Грани параллелепипеда, параллельные плоскости xy, - квадраты. Диагонали других (боковых) граней образуют с плоскостью xy угол j = 60°, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол q = 51°. Определить усилия в стержнях полученной пространственной фермы.

Указания. Задача С4 – на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При ее решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов.

Таблица С4

Номер условия
Узлы	H, M	L, M	K, M	L, H	K, H
Стержни	HM, HA, HB, MA, MC, MD	LM, LA, LD, MA, MB, MC	KM, KA, KB, MA, MC, MD	LH, LC, LD, HA, HB, HC	KH, KB, KC, HA, HC, HD
Номер условия
Узлы	M, H	L ,H	K, H	L, M	K, M
Стержни	MH, MB, MC, HA, HC, HD	LH, LB, LD, HA, HB, HB	KH, KC, KD, HA, HB, HC	LM, LB, LD, MA, MB, MC	KM, KA, KD, MA, MB, MC

ПримерС4.

Конструкция (пространственная ферма) состоит из невесомых стержней 1, 2, …,6, соединенных друг с другом (в узлах К и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. С4). В узлах К и М приложены силы и , образующие с координатными осями углы a₁, b₁, g₁ и a₂, b₂, g₂ соответственно (на рисунке показаны только углы a₁, b₁, g₁).

Дано: Р = 100 Н, a₁ = 60°, b₁ = 60°, g₁ = 45°, Q = 50 H, a₂ = 45°, b₂ = 60°, g₂ = 60°;

y = 30°, j = 60°, d ≈ 74°. Определить: усилия в стержнях 1- 6.

Решение

1. Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. на узел действуют сила и реакции стержней, которые направим по стержням от узла, считая стрежни растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

(С4.1)

(С4.2)

(С4.3)

Решив уравнения (С4.1) - (С4.3) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим: N₁ = 349 H, N₂ = - 345 H, N₃ = 141 H.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На него действует силы , . При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно , численно же N′₂ = N₂.

Составим уравнения равновесия:

(С4.4)

(С4.5)

(С4.6)

При определении проекций силы на оси х и у в уравнениях (С4.4) и (С4.5) удобно сначала найти проекцию этой силы на плоскость xOy

(по величине ), а затем найденную проекцию на плоскость спроецировать на оси. Решив систему уравнений (С4.4) - (С4.6) и учитывая ,что: , найдем силы N₄, N₅, N₆.

Ответ:N₁ = 349 H; N₂ = - 345 H; N₃=141 H; N₄ = 50 H; N₅ = 329 H; N₆ = - 66 H.

Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты; остальные – растянуты.

Задача С5

Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены, как показано на рис. С5.0-С5.9.

Размеры плит указаны на рисунках; вес большей плиты Р₁ = 5 кН, вес меньшей плиты Р₂ = 3 кН. каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость xy горизонтальная). На плиты действует пара сил с моментом М = 4 кН×м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы. Значения этих сил, их направления и точки приложения указаны в табл. С5; при этом силы и лежат в плоскостях, параллельных плоскости xy, сила ─ в плоскости, параллельной xz, и сила в плоскости, параллельной yz. Точки приложения сил (D, E, H, K) находятся в углах или в серединах сторон плит. Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня (стержней). Принять a = 0,6 м.

Указания. Задача С5 – на равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил. При ее решении учесть, что реакция сферического шарнира (подпятника) имеет три составляющие (по всем трем координатным осям), а реакция цилиндрического шарнира (подшипника) – две составляющие, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника). При вычислении момента силы иногда удобно разложить ее на две составляющие , параллельные координатным осям, (или на три); тогда по теореме Вариньона, записанной относительно оси ох, .

Таблица С5

Силы
Номер условия	F1=6 кН	F2=8 кН	F3=10 кН	F4=12 кН
Точка приложе-ния	a1, град	Точка приложе-ния	a2, град	Точка приложе-ния	a3, град	Точка приложе-ния	a4, град
	E		H		-	-	-	-
	-	-	D		E		-	-
	-	-	-	-	K		D
	K		-	-	D		-	-
	-	-	E		-	-	D
	H		K		-	-	-	-
	-	-	H		E		-	-
	-	-	-	-	H		K
	D		-	-	K		-	-
	-	-	E		-	-	H

ПримерС5

Горизонтальная прямоугольная плита весом Р (рис. С5) закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим (подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD'. На плиту в плоскости, парал­лельной xz, действует сила , а в плоскости, параллельной yz, пара сил с моментом М.

Дано: Р=3 кН, F=8 кН, М = 4 кН∙м, a = 0°, АС=0,8 м, АВ = 1,2 м, ВE=0,4 м,

ЕH = 0,4 м. Определить: реакции опор A, Bи стержня DD'.

Решение. 1. Рассмотрим равновесие пли ты. На плиту действуют за­данные силы и пара с моментом M, а так­же реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие Xа, Ya, Za, цилиндрического (подшипника) — на две составляющие Хв, Z_B(в плоскости, перпендикулярной оси под­шипника); реакцию стержня направляем вдоль стержня от D, предполагая стержень растянутым.

2. Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространствен­ной системы сил:

Подставив в составленные уравнения числовые значения всех заданных величин, и решив эти уравнения, найдем искомые реакции.

X_A = 3,4 кН; Y_A = 5,1 кН; Х_В=-7,4 кН; Z_B=2,1 кН; N=5,9 кН. Знак минус указывает, что реакция Х_В направлена противоположно показанной на рис. С5.