Сложное движение точки

Основные понятия

Для изучения некоторых, более сложных видов движений твердого тела целесообразно рассмотреть простейшее сложное движение точки. Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительно двух (и более) систем отсчета, движущихся друг относительно друга. Так, движение космического корабля, движущегося к Луне, требуется рассматривать одновременно и относительно Земли и относительно Луны, которая движется относительно Земли. Любое движение точки можно считать сложным, состоящим из нескольких движений. Например, движение корабля по реке относительно Земли можно считать сложным, состоящим из движения по воде и вместе с текущей водой.

В простейшем случае сложное движение точки состоит из относительного и переносного движений. Определим эти движения. Пусть имеем две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга. Если одну из этих систем (рис. 32) принять за основную или неподвижную (ее движение относительно других систем отсчета не рассматривается), то вторая система отсчета будет двигаться относительно первой. Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным. Характеристики этого движения, такие, как траектория, скорость и ускорение, называются относительными. Их обозначают индексом ; для скорости и ускорения и . Движение точки относительно основной, или неподвижной, системы отсчета называется абсолютным (или сложным). Его также иногда называют составным движением. Траектория, скорость и ускорение этого движения называются абсолютными. Скорость и ускорение абсолютного движения обозначают буквами и без индексов. Переносным движением называют движение подвижной системы отсчета по отношению к неподвижной. Вследствие относительного движения движущаяся точка в различные моменты времени совпадает с различными точками тела , с которым скреплена подвижная система отсчета. Переносной скоростью и переносным ускорением являются скорость и ускорение той точки тела , с которой в данный момент совпадает движущаяся точка. Переносные скорость и ускорение обозначают и .

Если траектории всех точек тела , скрепленного с подвижной системой отсчета, изобразить на рисунке (рис. 32), то получим семейство линий – семейство траекторий переносного движения точки . Вследствие относительного движения точки в каждый момент времени она находится на одной из траекторий переносного движения. Точка может совпадать только с одной точкой каждой из траекторий этого семейства переносных траекторий. В связи с этим иногда считают, что траекторий переносного движения нет, так как приходится считать траекториями переносного движения линии, у которых только одна точка фактически является точкой траектории.

В кинематике точки изучалось движение точки относительно какой-либо системы отсчета независимо от того, движется эта система отсчета относительно других систем или нет. Дополним это изучение рассмотрением сложного движения, в простейшем случае состоящего из относительного и переносного. Одно и то же абсолютное движение, выбирая различные подвижные системы отсчета, можно считать состоящим из разных переносных и соответственно относительных движений.

Сложение скоростей

Определим скорость абсолютного движения точки, если известны скорости относительного и переносного движений этой точки. Пусть точка совершает только одно относительное движение по отношению к подвижной системе отсчета и в момент времени занимает на траектории относительного движения положение (рис. 33). В момент времени вследствие относительного движения точка окажется в положении , совершив перемещение по траектории относительного движения. Предположим, что точка участвует только в одном переносном движении. Тогда за время вследствие этого движения вместе с системой координат и относительной траекторией она переместится по некоторой кривой на . Если точка участвует одновременно и в относительном и в переносном движениях, то за время она переместится на по траектории абсолютного движения и в момент времени займет положение . Если время мало и в дальнейшем переходят к пределу при , стремящемся к нулю, то малые перемещения по кривым можно заменить отрезками хорд и принять их за векторы перемещений. Складывая векторные перемещения, получаем

,

В этом отношении отброшены малые величины более высокого порядка, стремящиеся к нулю при , стремящемся к нулю. Переходя к пределу, имеем

. (69)

Пределы величин, входящих в это соотношение, являются соответственно скоростями абсолютного, переносного и относительного движений точки, т. е.

, ,

Следовательно, (69) примет форму

. (70)

Получена так называемая теорема сложения скоростей: скорость абсолютного движения точки равна векторной сумме скоростей переносного и относительного движений этой точки. Так как в общем случае скорости переносного и относительного движений не перпендикулярны, то

.