Построение окончательных эпюр внутренних сил

2.1. Построение в основной системе грузовой эпюры моментов и вычисление свободных членов канонических уравнений

Эпюра моментов от заданной симметричной нагрузки (грузовая эпюра), построенная в основной системе, изображена на рис.4.

Рис.4

Свободные члены системы канонических уравнений (1.3) представляют собой перемещения по направлению неизвестных от воздействия нагрузки, приложенной к основной системе. Для их определения произведем сопряжения соответствующих эпюр по формуле Максвелла-Мора.

Для проверки вычислений найдем групповое перемещение , которое должно быть равно сумме перемещений по направлению симметричных неизвестных:

(проверка выполняется).

Решение системы канонических уравнений

Матричная запись решения системы канонических уравнений (1.3) имеет следующий вид:

.

После подстановки обратной матрицы (1.9) и вектора грузовых коэффициентов получим следующие значения усилий в отброшенных связях

Таким образом,

С целью проверки правильности решения системы канонических уравнений, подставим найденные значения неизвестных в исходные уравнения (1.1):

Значения неизвестных вычислены верно.

Построение и проверка окончательной эпюры моментов

Ординаты окончательной эпюры моментов в сечениях рамы получим, используя принцип независимости действия сил

.

Для большей наглядности можно предварительно построить эпюры

и (рис.5,а,б). Суммируя алгебраически значения ординат этих эпюр с ординатами грузовой эпюры (рис.5,в), получим окончательную эпюру моментов (рис.5,г).

Правильность построения окончательной эпюры моментов проверяется двумя способами. Первый способ (статическая проверка) заключается в проверке равновесия жестких узлов заданной рамы. В нашем случае все узлы рамы на окончательной эпюре моментов находятся в равновесии. Вторая способ - деформационная проверка. Для выполнения этой проверки осуществляется сопряжение окончательной эпюры моментов с единичными и или с суммарной единичной эпюрой . В каждом из указанных случаев должен получиться нулевой результат, так как в заданной статически неопределимой системе перемещения в связях по направлению неизвестных и отсутствуют. Перемножая окончательную эпюру моментов с единичными, получаем следующие результаты:

Рис.5

На основании выполненных проверок убеждаемся в правильности построения окончательной эпюры моментов.

Построение и проверки эпюр поперечных

И продольных сил

Эпюру поперечных сил можно построить, используя окончательную эпюру моментов. Поперечная сила считается положительной (как и в сопротивлении материалов), если от ее воздействия элемент стержня рамы стремиться повернуться по ходу часовой стрелки. На участках, где эпюра моментов линейна, численное значение поперечной силы равно тангенсу угла наклона эпюры моментов к ее оси. Вычислим поперечные силы на таких участках (рис.5,г, 6,б):

участок 0 – 5 Q _0-5=

участок 0 – 1 Q _0-5 = .

Там, где эпюра моментов очерчена по квадратной параболе, эпюра поперечных сил изменяется по линейному закону. В этом случае эпюру поперечных сил можно построить, рассмотрев этот участок в виде балки на двух опорах, которая загружается заданной нагрузкой и опорными моментами, взятыми из окончательной эпюры моментов. В рассматриваемой задаче таким участком является участок 1–2 (рис.5,г). Построим для этого участка эпюру поперечных сил Q, рассматривая его как балку на двух опорах (рис.6,а). Во всех случаях знак поперечной силы устанавливаем по следующему правилу: поперечная сила положительна, если для совмещения оси элемента рамы с касательной к эпюре изгибающих моментов приходится вращать эту ось по ходу часовой стрелки. Окончательная эпюра поперечных сил для всей рамы представлена на рис. 6,б.

Рис.6

Рис.7

Продольные силы в стержневых элементах рамы определим путем последовательного вырезания узлов с составлением уравнений равновесия и для всех сил, действующих в сечениях рамы, сопредельных с узлом. Как и в «сопротивлении материалов» продольную силу, вызывающую деформацию растяжения, будем считать положительной. Сначала вырежем узел «0» и последовательно спроецируем все силы на оси координат и (рис.7,б):

, откуда

, откуда

Аналогично получены величины продольных сил в стержнях «1-2» и «2-5» (рис.7,а,в). Окончательная эпюра продольных сил изображена на рис.7,г.

Для проверки правильности построения эпюр поперечных и продольных сил отсечем раму от опорных связей и спроецировав все силы, приложенные к верхней отсеченной части, на вертикальную и горизонтальную оси (рис.8), убедимся что равновесие удовлетворяется.

.

Рис.8