II. 1. Постановка задачи об атоме водорода
Энергия ионизации атома водорода примерно 13,6 эВ, что намного меньше энергии покоя
электрона (0,51 МэВ). Следовательно, задача об атоме водорода может решиться в рамках нерелятивистской квантовой механики — выполняется закон сохранения числа частиц, а также можно применять нерелятивистское уравнение Шредингера. Если пренебречь весьма малыми магнитными взаимодействиями, о которых речь пойдет дальше, то можно считать, что электрон находится в поле кулоновской силы электростатического притяжения к ядру. Потенциальная энергия электрона выражается классической формулой
, (11.1)
где r — расстояние электрона до ядра, а
.
постоянная величина. Поле является центрально-симметричным, и мы можем воспользоваться всеми результатами предыдущего параграфа.
При решении задачи об атоме водорода интерес представляет движение электрона по отношению к ядру; ядро считается неподвижным. Это оправдано, так как масса ядра почти в 2000 раз больше массы электрона. Однако для сопоставления теоретически найденных уровней энергии с экспериментальными, измеряемыми с точностью до 8 и более значащих цифр, необходимо учесть, что ядро тоже движется вокруг центра масс атома. Как в классической механике, так и в квантовой учет движения ядра в формулах
для динамических параметров системы прост; нужно лишь заменить в уравнениях движения массу электрона на приведенную массу.
(о классической задаче двух тел см. ч. I, § 15). Поэтому уравнение Шредингера приведет к формуле энергии электрона, где вместо m
стоит μ. Что касается функции состояния, то можно считать, что она характеризует движение электрона относительно ядра в системе, связанной с движущимся в пространстве ядром (подробнее о квантовой задаче двух частиц см. § 14).
Ниже полагаем, что ядро находится в начале координат. Массу электрона — приведенную или обыкновенную — обозначаем через μ.
Угловая часть волновой функции электрона уже известна: это сферическая функция
Ylm(θ,φ). Для нахождения радиальной части нужно решить радиальное уравнение (10.16) или (10.18) с новским потенциалом. В данном случае эффективный потенциал
имеет вид
,
Общий ход кривой (Uэф дан на рисунке 5.1. При r ->0 (Uэф ведет себя как 1/r2, на больших расстояниях функция Uэф(r) приближается к нулю как 1/r со стороны отрицательных значений. Для нас наиболее важна область потенциальной ямы. Здесь при отрицательных
энергиях движение частицы происходит в ограниченной области пространства и возможны связанные состояния с дискретными значениями энергии.