Вычисление прогибов на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки

Прогибы можно находить и другими способами, например, на основе решения дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Для вывода этого уравнения, рассмотрим элемент балки (рис.16.6).

Рис. 16.6

Ясно, что чем больше , тем больше кривизна изогнутой оси балки.

Эту фразу можно записать в виде:

. (16.5)

Выразим кривизну через прогиб. Согласно формулам математического анализа:

Рис.16.7

По геометрическому смыслу производная это тангенс угла наклона кривой (рис16.7):

.

Ввиду малости прогибов угол также мал, поэтому

.

Тогда: (16.6)

Очевидно, что k зависит от геометрии сечения и материала балки. Найдем эту зависимость.

Рассмотрим малый элемент балки длины (рис. 16.3, 16.4). После изгиба он превратится в изогнутый элемент (рис.16.8). Длина волокна BC, которое проходит через центр тяжести сечения, не изменяется и будет равна . А нижнее волокно DH удлиняется на .

Рис.16.8

Вычисляем , учитывая, что . Согласно определению

.

Используя закон Гука и формулу Навье получаем

. (16.7)

Вычислим теперь по другому - через угол (рис.16.8). Из геометрии известна формула для вычисления длины дуги:

.

Тогда

. (16.8)

Приравниваем (16.7) и (16.8):

.

Отсюда получаем:

.

Учитываем, что согласно (16.6):

Окончательно получаем:

(16.9)

Это и есть уравнение изогнутой оси балки.

Решение дифференциального уравнения изогнутой оси балки

Если балка имеет постоянную толщину, то есть , то решение легко записывается в общем виде:

(16.10)

(16.11)

Хотя решение получено в общем виде, однако основная трудность заключается в определении М_х иконстант C и D, поскольку на разных участках балки разные, а значит C и D также разные (в частности, если балка имеет три участка, то нужно определить 6 констант C и D).

Однако существует способ интегрирования, который сводит все неизвестные только к двум константам (разработан Клебшом)

Правила Клебша

Правила Клебша сводятся к следующему.

1) выражаем через внешние силы, которые лежат только слева (или только справа) от сечения.

2) Если погонная сила q не доходит до правого конца, то ее доводим до этого правого конца и уравновешиваем ее снизу (рис.16.9)

Рис.16.9

3) Если имеется сосредоточенный момент m_о, то его вклад записываем в виде , где а - расстояние до момента m_о.

4) Интегрируем, не раскрывая скобок.

При выполнении этих условий все константы С на разных участках будут одинаковы. Аналогично будут одинаковы все константы D.

Справедливость правил Клебша доказывается непосредственной проверкой, то есть подстановкой решения в условия стыковки решения на границе участков. Рассмотрим, например, случай, приведенный на рис.16.12.

рис16.12

По правилам Клебша момент на участках (1), (2) запишем в виде:

(1):

(2):

Дифференциальные уравнения на участках:

(1)

(2)

Решение этих уравнений на участках (1), (2) имеет вид:

Участок (1): .

Участок (2): .

Отсюда видно, что при S = a получим равенство углов наклона и прогибов, вычисленных по разным формулам при любых С и D, т.е. условия гладкости изогнутой оси выполняются. Аналогично проверяются условия гладкости на границе участка, на которой заканчивается погонная сила q.

16.2.3 Условия для определения С и D

1) Первый случай .Рассмотрим балку, лежащую на двух опорах (см. рис.16.10).

Рис. 16.10

Рис. 16.11

Из схемы видно, что

(16.13)

Таким образом, получаем систему уравнений для С и D.

2) Второй случай. Пусть балка заделана на расстоянии (консольная балка, см. рис.16.10).

В заделке не может появиться наклона оси, поэтому там не только нет прогиба, но и .

Таким образом, из схемы следует, что:

(16.14)

Опять получили два уравнения для С и D.