Гармонические колебания

Рассмотрим движение пружинного маятника — материальной точки массой т, подвешенной на пружине с жесткостью k. Если пружину оттянуть (сжать) на расстояние к от положения равновесия, то возникнет дополнительная упругая сила, величина и направление которой определяются законом Гука:

F = —k·x.(10.1)

Знак «—» показывает, что сила упругости всегда направлена в сторону, противоположную направлению смещения, т. е. к положению равновесия.

Предположим, что силы сопротивления отсутствуют. Тогда, подставив выражение (10.1) в формулу второго закона Ньютона, получим дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии трения:

Преобразуем выражение (10.2) следующим образом: Отношение положительно, поэтому целесообразно заменить его квадратом некоторой величины:

Получили дифференциальное уравнение второго порядка:

Его решение приводит к гармоническому закону:

где А — амплитуда колебаний,

ω₀ — собственная круговая (циклическая) частота колебаний,

φ= (φ₀t + φ₀) — фаза колебаний,

φ₀—начальная фаза колебаний (при t = 0).

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями движения, т. е. положением и скоростью материальной точки в момент времени t = 0.

Гармоническими колебанияминазываются колебания, при которых наблюдаемая величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса.

Таким образом, пружинный маятник совершает гармонические колебания.

График зависимости смещения от времени при гармонических колебаниях для случая φ₀ = 0 представлен на рис. 10.2.

Наряду с круговой частотой ω₀используют и другие характеристики колебательного движения:

• частота колебаний v, равная числу колебаний, совершаемых за единицу времени:

v= (10.6)

• период колебаний Т, равный времени, в течение которого совершается одно полное колебание:

Рис. 10.2.График зависимости смещения от времени при гармонических колебаниях

Связь между указанными характеристиками определяется формулами:

Закон движения (10.5) позволяет определить скорость и ускорение колеблющегося тела в любой момент времени:

где v_max = А·ω₀ — максимальная скорость (амплитуда скорости);

где а_mах = A∙ω₀²— максимальное ускорение (амплитуда ускорения).

Колеблющаяся материальная точка в любой момент времени обладает кинетической энергией собственного движения — Е_к и потенциальной энергией E_п, связанной с деформацией пружины.

Полная энергия колеблющегося тела складывается из его кинетической и потенциальной энергий:

Как видно из (10.12), в этом случае полная механическая энергия системы не изменяется.

Затухающие колебания

Учет сил трения и сопротивления в реальных системах существенно изменяет характер движения: энергия движения постоянно убывает и колебания либо становятся затухающими, либо колебательное движение вообще не возникает.

Если в рассматриваемой системе появляются силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:

Предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах сила сопротивления пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно ей:

где r — коэффициент трения, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению. Учитывая (10.13) и (10.14),

или

где

β─коэффициент затухания; ω₀ - круговая частота собственных колебаний системы.

Решение полученного дифференциального уравнения зависит от знака разности ω²= ω₀²— β², т. е. от соотношения между величинами β и ω₀. Параметр есть круговая частота затухающих колебаний.

а) Если ω₀²— β²> 0 и круговая частота со является действительной величиной, то решение уравнения (10.15) имеет вид:

где ω = круговая частота затухающих колебаний. График таких колебаний представлен на рис. 10.3.

Рис. 10.3.График зависимости смещения от времени при затухающих колебаниях (φ₀ -. 0)

В этом случае колебательный характер движения сохраняется, но амплитуда колебаний уменьшается со временем по экспоненциальному закону А = Α₀·ехр(—β·t). Круговая частота колебаний становится меньше, чем при отсутствии силы трения. Период затухающих колебаний в этом случае возрастает и определяется формулой, показывающей зависимость от коэффициента трения:

Быстрота убывания амплитуды колебаний зависит от коэффициента затухания: чем больше р, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда.

Количественно степень затухания характеризуется безразмерной величиной — логарифмическим декрементом затухания λ:

б) ω₀²< β² (сильное затухание), то колебательное движение не возникает. Период колебаний становится мнимой величиной. В этом случае запас механической энергии тела к моменту его возвращения в положение равновесия полностью или почти полностью расходуется на преодоление сил трения и тело останавливается. Такое движение называется апериодическим.