Критерии определения устойчивости упругих систем

Тема 2. Сопротивление материалов

Лекция №10.Устойчивость стержней.

2.10.1.Предмет и задачи устойчивости.

2.10.2.Критерии определения устойчивости упругих систем.

2.10.3.Задача Эйлера.

2.10.4.Устойчивость стержней с различными концевыми условиями их закрепления.

Предмет и задачи устойчивости.

Устойчивостью называется способность тел сохранять свое, первоначальное положение или первоначальную форму равновесия в деформированном состоянии при действии внешних сил.

В соответствии с этим надо различать устойчивость положения и устойчивость форм равновесия в нагруженном состоянии.

Положение тела или форма равновесия в нагруженном состоянии считается устойчивым, если при всяком, сколь угодно малом дополнительном возмущении, тело отклоняется от исследуемого положения или равновесного состояния, однако после исчезновения дополнительного возмущения полностью возвращается в исходное состояние (для упругих систем), или проявляет тенденцию к возвращению в исходное состояние (для упругопластических систем).

Положение тела или форма равновесия в нагруженном состоянии считается неустойчивым, если при каком-либо сколь угодно малом отклонении от исследуемого равновесного состояния и после исчезновения возмущения тело не проявляет тенденцию к уменьшению получаемых отклонений, а иногда отклоняется еще далее — до нового положения или новой формы равновесного состояния.

При безразличном равновесии тело, будучи отклонено, остается в равновесии и в новом положении.

Переход сооружения из одного равновесного состояния к другому равновесному состоянию называется потерей устойчивости системы. Состояние перехода называется критическим состоянием. При этом величины внешних сил, действующие на сооружение, называются критическими.

Как это следует из понятия устойчивости, в механике различают два вида потери устойчивости сооружения: потерю устойчивости положения и потерю устойчивости, вызванной сменой формы равновесного состояния.

При изучении потери устойчивости сооружений, связанной со сменой формы деформированного состояния, в строительной механике различают два рода потери устойчивости.

Потерю устойчивости, связанную только со сменой формы деформированного состояния, называют потерей устойчивости первого рода, что свойственно только упругим системам.

Потерей устойчивости второго рода принято называть первое предельное состояние системы по несущей способности системы, т.е, состояние системы, когда при дальнейшем увеличении внешних сил равновесие между внешними и внутренними силами нарушается.

Основная задача теории устойчивости заключается в определении критических значений внешних сил. При этом наибольшее практическое значение имеет определение критических значений внешних сил при потере устойчивости системы по первому роду.

Критерии определения устойчивости упругих систем.

В теории устойчивости основными критериями определения критических значений внешних нагрузок являются энергетический, динамический и статический.

В основе энергетического критерия заложен принцип Лагранжа -Дирихле, согласно которому, если система находится в состоянии устойчивого равновесия, ее полная потенциальная энергия обладает минимумом по сравнению со всеми соседними состояниями системы; если в состоянии неустойчивого равновесия — то максимумом; а сели в безразличном те. критическом — то потенциальная энергия является постоянной величиной

В общем случае изменение (вариацию) полной потенциальной энергии системы dU при переходе ее от рассматриваемого состояния к соседнему можно записать таким образом:

dU=dV-dT,

где dV - вариация потенциальной энергии внуiренюих сил;

dT — вариация потенциальной энергии внешних сил.

Следовательно, критическое состояние системы, согласно энергетическому критерию, определяется из условия

dU=0 или dV=dT

При решении задач устойчивости по динамическому критерию исходят из предположения, что колеблющаяся система около своего положения равновесия не способна возвращаться к первоначальному положению. Данное предположение равносильно утверждению, что в критическом состоянии спектр собственных частот рассматриваемой системы стремится к нулю, те. (i = 1, 2, 3, }. Здесь — собственная частота рассматриваемой системы при i-й форме колебаний.

Следовательно, при решении задач по динамическому критерию составляется уравнение собственных колебаний заданной системы, далее определяется выражение частот собственных колебаний, и из условия их равенства нулю определяется критическое значение внешних сил.

Так, например, для сжатого осевой продольной силой Р стержня постоянного поперечного сечения с распределенной массой, частота основного тона поперечных колебаний выражается формулой

,

где — собственная частота поперечных колебаний при отсутствии сжимающей силы, т.е. при Р = 0.

Суть статического критерия заключается в следующем. Исследуемой системе задается отклоненная форма равновесия, совпадающая по характеру перемещений с ожидаемой новой формой равновесного состояния системы после потери устойчивости системы, и определяются значения рассматриваемых внешних нагрузок, способных удержать систему в новой форме равновесного состояния.

Значения внешних нагрузок, способных удержать систему в новом равновесном состоянии, при соблюдении граничных условий по исходному состоянию, являются критическими.

В дальнейшем будем рассматривать решение задач теории устойчивости с применением только статического критерия, так как он является основным критерием при выполнении практических расчетов упругих консервативных систем.

Задача Эйлера.

Рассмотрим решение задачи устойчивости упругого стержня постоянного поперечного сечения, расположенного на двух шарнирно-опертых концах, при действии продольной силы переменной величины (рис. 2.9.1). Впервые эта задача была поставлена и решена Л. Эйлером в середине ХVIII века.

Рисунок 2.10.1.

На начальном этапе действия постоянно возрастающей силы Р очевидно, что в поперечных сечениях стержня возникают только продольно- сжимающие силы и стержень испытывает сжатие, сохраняя прямолинейную форму деформированного состояния (1). Считая данную форму деформированного состояния в качестве начальной, предполагают, что при некотором значении внешней силы Р= Р_кр стержень изогнется, т.е. в некотором новом равновесном состоянии принимает искривленную форму (2), изображенную на рис. 2.10.1. Существенно, что при достижении сжимающей силой того значения (крити­ческого), при котором прямолинейная фор­ма равновесия оси стержня становится не­устойчивой, для перехода к криволинейной форме нет надобности прикладывать к стержню поперечную нагрузку и изгиб стержня происходит без видимых внешних причин.

Изгиб стержня, связанный с потерей ус­тойчивости прямолинейной формы его равно­весия, называют продольным изгибом.

На основе изложенного можно дать следующее определе­ние: то наибольшее значение центрально приложенной сжимающей силы, до которого прямолинейная форма равновесия стержня устойчива, называется критическим.

Итак, при сжимающей силе, меньшей критической, стержень работает на сжатие; при силе, большей критической, стержень работает на совместное действие сжатия и изгиба. Даже при небольшом превышении сжимающей нагрузкой критического значения прогибы стержня и возникающие в нем напряжения, как правило, недопустимо велики.

Если при силе, незначительно большей критической, стержень не разру­шается в буквальном смысле слова, то конструкция все же вы­ходит из строя в результате возникновения больших перемеще­ний. Поэтому с точки зрения практических расчетов критическая сила должна рассматриваться как разрушающая нагрузка.

Таким образом, все задачи расчета на устойчивость харак­терны тем, что при достижении нагрузкой критического значе­ния происходит резкое качественноеизменение характера де­формации элемента конструкции. При этом новый вид упругого равновесия, соответствующий нагрузкам, большим критических, связан, с недопустимо большими перемещения­ми—с выходом конструкции из строя. Следовательно, расчет на устойчивость должен обеспечить работу элемента конструкции при первоначальной форме его упругого равновесия, т. е. при на­грузках, меньших критических.

Применительно к расчету сжатых стержней из сказанного следует, что должны быть обеспечены такие соотношения ме­жду размерами стержня, характеристиками его материала и действующей на него нагрузкой, при которых гарантируется его работа на сжатие без опасности продольного изгиба. Это значит, что фактически действующая или допускаемая сжимаю­щая сила должна быть в некоторое число раз меньше критиче­ской.

Обозначая величину прогибов стержня через у (z) в сечении, расположенном на расстоянии z от начала системы координат уz значения изгибающих моментов в указанном поперечном сечении от действия внешней силы Р принимают значения:

М= -Ру

Из теории изгиба, при малых прогибах и пренебрегая продольными деформациями, деформированное состояние стержня за счет изгиба, описывается уравнением

(2.10.1)

Принимая обозначение

(2.10.2)

уравнение (2.10.1) можно представить в следующем виде:

у” + k²y= 0. (2.10.3)

Решение (2.10.3) имеет следующий вид:

(2.10.4)

Произвольные постоянные С₁ и С₂ определяются из граничных условий закрепления балки т.е., у(0)=0; у(l) = 0.

Из первого условия вытекает, что С₂ = 0, а из второго

С₁ sin kl = 0 (2.10.5)

Последнее уравнение имеет два возможных решения: либо С =0, либо же sin kl =0.

В первом случае получается, что С₁ = С₂ = О и перемещения, согласно (9.2.4), тождественно равны нулю, т.е. у = 0. Это решение, очевидно, соответствует первоначальному равновесному состоянию, которое нас не интересует. Во втором случае, т.е. предполагая, что , из (9.2.5) следует, что sin kl =0. Откуда следует, что , где п = 1, 2, 3,… С учетом выражения (9.2.2), получим:

Наименьшая критическая сила Р получается при п = 1:

(2.10.6)

Эта сила носит название первой критической или Эйлеровой силы. Решение (2.10.4) при C₂ =0 принимает вид ,

Графики функции у(z) при различных значениях п, или так называемые формы потери устойчивости стержня изображены на рис. 2.10.2.

Рисунок 2.10.2

При выполнении практических расчетов, как правило, определяется критическое значение внешней силы, соответствующее низшей форме потери устойчивости системы. Поэтому рассматривается решение задачи по определению только наименьшего значения критических сил.