Вращательное движение твердого тела

Вращательное движение представляет одно из наиболее общих и поразительных свойств Вселенной. Планеты и их спутники, звезды, вращающиеся вокруг своих осей, планеты, вращающиеся вокруг Солнца, вращающиеся двойные звезды, звезды и их спутники, вращающиеся вокруг центров своих галактик, многие галактики входят в состав вращающихся вихревых скоплений (рис. 4.1). В более простых случаях это смерчи (рис. 4.2), водовороты (рис. 4.3), вращение колес экипажей, вращение игрушечного волчка, вращение электронов в атомной модели Бора и т.д.

Какая причина заставляет все это вращаться? Начнем выяснение этого с простого случая: вращательного движения материальной точки. При движении материальной точки по окружности ее скорость может изменяться как по величине, так и по направлению. Поэтому ускорение точки целесообразно разложить на нормальное ускорение и тангенциальное ускорение . Соответственно, уравнение движения можно спроецировать на направления этих ускорений:

,

где – проекция силы, действующей на материальную точку, на направление, перпендикулярное к скорости, а – проекция силы на направление скорости. Тангенциальное ускорение можно выразить через угловое ускорение b:

,

где R – радиус окружности, по которой движется точка. Поэтому второе уравнение можно записать в виде:

.

(4.1)

Обозначим угол между вектором силы , действующей на точку, и направлением на центр окружности через a. Из рис. 4.4 видно, что

,

где – длина перпендикуляра, опущенного из центра окружности на линию действия силы, называемая плечом силы.

С учетом этих соотношений получим, что

.

Произведение называется моментом силы относительно оси вращения. Уравнение движения (4.1) принимает вид:

.

(4.2)

Необходимо учесть, что сила может как увеличивать угловую скорость, так и уменьшать. Условно можно принять, что одно из направлений движения точки, например, против часовой стрелки, является положительным. Тогда момент силы можно считать положительным, если сила увеличивает скорость вращения в направлении против часовой стрелки, и отрицательным – в противоположном случае.

Полученное уравнение движения (4.2) сходно с уравнением Ньютона : вместо силы в нем фигурирует ее момент относительно оси вращения, вместо ускорения – угловое ускорение b, место массы заняла комбинация , зависящая не только от массы, но и от ее расположения относительно оси вращения. Эта комбинация называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения. Момент инерции при вращательном движении играет ту же роль, что и масса при поступательном движении точки по прямой. Чем больше момент инерции, тем больший требуется момент силы, чтобы изменить угловую скорость. Значение момента инерции, как видим, определяется не только массой, радиальное положение массы даже более существенно, так как . Например, раскрутить камень, привязанный на длинной веревке, труднее, чем в случае короткой веревки.

С учетом момента инерции уравнение (4.2) примет вид:

.

(4.3)

Аналогию с уравнением поступательного движения можно продолжить, если его записать в виде , где – импульс точки. Так как угловое ускорение , а момент инерции материальной точки при движении по окружности не зависит от времени, уравнение вращательного движения материальной точки (4.3) можно записать в виде:

.

(4.4)

Учитывая, что , можно записать . Выражение называется моментом импульса материальной точки относительно оси вращения. Таким образом, уравнение вращательного движения относительно неподвижной оси принимает вид:

.

(4.5)

Рассмотрим вращение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси. Абсолютно твердым телом принято считать тело, размеры и форму которого можно считать неизменными. Понятие абсолютно твердого тела является идеализацией реальных тел, так как все тела под действием приложенных сил в той или иной степени деформируются, то есть меняют форму и размеры. Однако если деформации малы, то ими можно пренебречь и рассматривать тело как абсолютно твердое. Такое тело можно разбить на отдельные достаточно малые элементы, которые можно было бы рассматривать как материальные точки. При вращении тела вокруг неподвижной оси все эти точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями по окружностям, центры которых лежат на оси вращения. Для каждого элемента массой Dm можно записать уравнение вращательного движения (4.5), а затем все эти уравнения почленно сложить. При этом сумма моментов внутренних сил будет равна нулю, так как согласно третьему закону Ньютона эти силы равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны. В результате получится уравнение вида:

.

После суммирования этих уравнений получится уравнение:

,

где – момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения, а – суммарный момент всех внешних сил, действующих на тело, относительно оси вращения.

Момент импульса твердого тела . Здесь – момент инерции отдельных элементов тела:

,

где – масса отдельного элемента, а – расстояние от этого элемента до оси вращения. Таким образом, момент инерции тела зависит не только от массы тела, но и от распределения массы относительно оси вращения. Для абсолютно твердого тела момент инерции – постоянная величина, поэтому уравнение движения (4.4) можно записать в виде:

или .

Таким образом, результирующий момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения сообщает твердому телу угловое ускорение , величина которого зависит не только от момента сил , но и от момента инерции тела относительно этой оси.

Примеры