Угловое и радиальное распределение плотности электронного облака

В предыдущем параграфе решено уравнение для движения электрона в кулоновском поле. Результаты решения дают возможность сделать заключение о пространственной структуре и других характеристиках атома водорода.

Запишем выражение для вероятности обнаружения электрона в элементе объема

(dV=r² sin θdrdθdφ)

вблизи точки с координатами

(12.1)

(Квантовые числа для сокращения записи опущены.) Распределению вероятностей (12.1) сопоставляется представление об электроне в виде облака, имеющего плотность,

пропорциональную квадрату модуля волновой функции. При этом величина -е |ψ|²

рассматривается как плотность заряда электрона, непрерывно распределенного в пространстве. (Иногда используется следующая корпускулярная интерпретация строения атома: считается, что электрон быстро обегает пространство, занятое атомом, причем

время его пребывания в объеме dV пропорционально |ψ|² )

Конфигурация электронного облака задает пространственную структуру атома

Ввиду сложности волновой функции целесообразно рассмотреть сначала радиальное распределение плотности облака, а затем — угловое.

Рассчитаем с помощью выражения (11 21) вероятность обнаружения электрона в шаровом слое между сферами радиусом r и r+dr. Для этого проинтегрируем распределение (12.1) по углам θ и φ в полном интервале изменения этих переменных. Получим

Плотность вероятности для значений координаты r описывается функцией

. (12.2)

Далее можно воспользоваться найденными ранее выражениями (11.11) для R_nl и найти зависимость плотности электронного облака от расстояния до центра атома для различных состояний.

Диаграммы для w_nl, w₂₀, w₂₁ представлены на рисунке 12 1.

Очевидно, что вблизи ядра и на больших расстояниях от него вероятность обнаружить частицу весьма мала. Плотность облака значительна на конечных расстояниях от начала координат. Здесь функция w_nl(r) обращается в нуль n – l -1 раз, и облако разбивается на слои

Вычисление средних расстояний приводит к формуле

Рис 12 1.

Рис. 12.2

r_nl быстро растет при увеличении главного квантового числа, а при заданном n убывает с ростом орбитального квантового числа l.

Резкой границы у атома нет. Однако плотность электронного облака очень быстро (экспоненциально) спадает при r>r. При r->оо вероятность обнаружить электрон практически равна нулю.

В состояниях с l = n-1

и максимум функции w (r) в этом случае достигается в точке r = аn². Эти расстояния совпадают с боровскими радиусами круговых орбит.

Перейдем к угловому распределению электронного облака. Согласно формулам (12 1) и (11.10) вероятность обнаружения частицы в пределах элементарного телесного угла dΩ, равного sin θdθdφ и взятого в направлении, заданном углами θ и φ, определяется формулой

d W (θ, φ)= Y^* _lm (θ, φ) Y_lm (θ, φ) sin θ dθ dφ.

Соответственно плотность вероятности

w_lm = Y^* _lm (θ, φ) Y_lm (θ, φ). (12.3)

Поскольку зависимость функции Y_lm от угла φ имеет вид е^imφ то плотность вероятности углового распределения не зависит от φ, что указывает на осевую симметрию электронного облака.

Распределение по полярному углу θ часто представляют графически в виде полярных диаграмм. Они строятся следующим способом.

На координатной прямой г полярной системы координат от точки 0 откладывается значение w_lm (θ). Через полученные точки проводится линия. Чем дальше точки кривой отстоят от начала координат, тем больше вероятность обнаружить частицу в заданном направлении.

Рассмотрим в качестве примера три состояния (см. формулы (10.11)):

Соответствующие полярные диаграммы изображены на рисунке 12.2. В s-состояниях облако имеет сферическую симметрию. В р-состояниях при m = 0 оно вытянуто вдоль оси Oz, а при m=±1 облако сгущается в экваториальной плоскости. На полярной оси вероятность нахождения частицы равна нулю.

Мы предлагаем читателю в качестве упражнения свести воедино радиальное и угловое распределения для электронного облака в состояниях 1s, 2s и 2p(m = 0, ±1): изображение атома в разных состояниях показано на переднем форзаце.

Для больших значений пи/ строение атома водорода оказывается довольно сложным. Для ознакомления с этим вопросом следует обратиться к более детальным руководствам или справочникам (см. [21]).